Egy pozitív egész tagokból álló sorozat rekurzív definíciója: a(n+1)=a(n)/2, ha a(n) páros a(n+1)=3*(a(n)+1), ha a(n) páratlan. Igaz-e, hogy bármely a(1) pozitív egész szám esetén a sorozatnak tagja a 3?

Véletlenül nem ezt akartad írni: a(n+1)=3*a(n) + 1?

Mert abban az esetben senki sem tudja, ugyanis az a Collatz-sejtés.

(Egy gyors közbevetett kérdés: Szándékos az eltérés a 3n+1 problémától, azaz páratlan szám esetén valóban

a[n+1]=3*(a[n]+1) = 3a[n] + 3

akar ez lenni, vagy csak elírás, és valóban a 3n+1 problémát boncolgatod, ahol:

a[n+1]= 3a[n] + 1

De nekem gyanús ez a sorozat így ebben a formában is…

Ugye az eredeti 3n+1 problémánál:

aₙ₊₁ = aₙ / 2 ha aₙ páros

aₙ₊₁ = 3aₙ + 1 ha aₙ páratlan

Legyen egy másik sorozatunk, ahol bₙ = 3aₙ. Ezesetben:

Ha aₙ páros, akkor 3aₙ, azaz bₙ is páros lesz, ebben az esetben:

aₙ₊₁ = aₙ / 2

bₙ = 3*aₙ

bₙ₊₁ = 3*aₙ₊₁ = 3aₙ/2 = bₙ/2

Ha aₙ páratlan, akkor 3aₙ azaz bₙ is páratlan lesz, ebben az esetben:

aₙ₊₁ = 3aₙ + 1

bₙ = 3*aₙ

bₙ₊₁ = 3*aₙ₊₁ = 3*(3aₙ + 1) = 9aₙ + 3 = 3bₙ + 3

Tehát megkaptuk a te sorozatodat szabályrendszerét. Csak ugye az „a” sorozat 3-mal való szorzása a te sorozatodnak csak azt a részét fedi le, mikor b[1] hárommal osztható.

Viszont ahhoz, hogy igaz legyen az, hogy a te sorozatod tetszőleges kezdőértékkel tartalmazza a 3-at, annak szükséges, de nem elégséges feltétele, hogy a Collatz-sejtés igaz legyen. Mivel a Collatz-sejtést eddig nem sikerült bizonyítani, így az sem bizonyítható, hogy a te eredeti kérdésed sem bizonyítható (még).

Cáfolni sem cáfolható. Ha a te sorozatod első eleme egy 3-mal nem osztható szám, akkor ha páratlan a szám, akkor a következő lépésben egy 3-mal osztható számra jutunk, ami megint visszavezethető a Collatz-sejtésre. Pl. az 5 nem osztható 3-mal, de a sorozat következő eleme 3*(5+1) = 3*6 = 18 lesz, ami már egy 3-mal osztható szám, a sorozat további folytatása megegyezik a 3n+1 probléma a[1]=6 kezdőértékű sorozatával.

Ha meg a te sorozatod kezdőértéke egy 3-mal nem osztható páros szám, akkor 2-vel osztásokkal előbb-utóbb szükségszerűen egy páratlan – és amúgy 3-mal nem osztható – számra fogunk jutni, ami onnantól szintén visszavezethető a Collatz-sejtésre.

Tehát az állítás igaz, ha a Collatz-sejtés igaz.

Ha a tanár berágott rád, és a kettesért a Collatz-sejtést is bizonyítanod kell, akkor válts stratégiát, és inkább dobj egy csontot a kutyájának.