Mi dönti el, hogy egy esemény valószínűsége vagy az ellentétes eseményé nő?

Egy esemény valószínűsége nem nő attól, hogy az előző kisérletek milyen eredményt adtak.

Egy szabályos kockánál a hatos valószínűsége akkor is pontosan 1/6 marad, ha előtte 20-szor jött ki hatostól különböző szám.

Ahogy #1 írja, a példád nem jó, bár tény, hogy az emberben van egy ilyenfajta intuíció. Ez főként a rulettnél szokott előjönni; ha 5-ször piros jött ki, akkor úgy érzi, hogy következőre nagyobb eséllyel jön a piros, mondván „kicsi annak a valószínűsége, hogy egyás után 6-szor ugyanaz a szín jöjjön ki”. Ez a megállapítás egyébként önmagában igaz, csak nincs köze a következő pörgetéshez.

Van olyan élethelyzet, ahol a változás befolyásolja a valószínűséget. Például egy műszaki cikk megvásárlásakor 2 év garanciát biztosít a termékre a gyártó, akkor az azt jelenti, hogy -folyamatos használat mellett- várhatóan a termék 2 évig használható lesz. Értelemszerűen minél többet használjuk, annál nagyobb lesz a valószínűsége, hogy egyszercsak elromlik.

Gondolom, szerencsejátékot szeretnél így játszani.

Nem fog bejönni, mert a KÖVETKEZŐ eseményt NEM befolyásolja az, hogy mi volt előtte. Tehát az egyik mondatod SEM lesz igaz.

A törvény csak a nagy számokra vonatkozik, vagyis nagyon nagy számú pörgetésre lesz 1/6 a 6-os esélye.

Nincs úgymond emlékezete a kockának. A kockadobások egymástól független esetmények, mint ahogy már írták is előttem hogy amit a kérdező írt egyik értelmezés sem helyes.

"A törvény csak a nagy számokra vonatkozik, vagyis nagyon nagy számú pörgetésre lesz 1/6 a 6-os esélye."

Feltéve hogy szabályos kockáról van szó és nem csaltunk nem csak nagy számú dobásra lesz igaz, egyetlen dobásra is 1/6 a 6-os esélye.

Az más kérdés, hogy : konkrét esetben eltérhet attól, hogy az esetek 1/6-odában legyen 6-os. Ha 6-nál kevesebb dobás van akkor eleve nem is lehet az esetek 1/6-odában.

A sztochasztikus konvergencia avagy a majdnem biztos konvergencia mint matematikai fogalom értelmében nagy számú dobásnál látszik ez a tendencia.

A másik amit a kérdező kever, hogy esemény valószínűségéről nem beszélünk a már múltban bekövetkezett eseményről a jelenbe vonatkoztatva.

Ha feltételes valószínűségről beszélünk vagyis ha már 20x nem dobtam 6-ost egymás után zsinórban, akkor 21x-re akkora valószínűséggel dobok hatos mintha előtte bármit is dobtam volna. Az megint más kérdés, hogy annak mennyi az esélye hogy 20x egymás után ne dobjak hatost. Feltételes valószínűség esetében eleve már a feltétel adott, tök mindegy hogy a feltételnek mennyi valószínűsége volt a múltban.

Ez csak olyan eseményekre igaz, ahol egy próbálkozás eredménye hatással van a következő próbálkozás kiindulási paramétereire. Pl ott vannak a kalapból golyóhúzós példák, hogy x piros meg y kék golyóból mekkora eséllyel húzol pirosat. Na most ha már húztál egy pirosat, akkor második próbálkozásra csökken az esélye egy újabb piros és nő az esélye egy kék kihúzásának, mivel ugye eggyel kevesebb piros golyó van már a kalapban.

Dobókocka esetében ellenben nincs befolyással egy dobás eredménye a következőre. A 6-os dobásának esélye 1/6 a legelső de a századik dobásnál is.

A kedvező és a kedvezötlen esetek aránya dönti el.

Az első szemlélet a helyes, a második simán értelmetlen. Természetesen befolyásolja a korábbi dobások eredménye a küvetkező dobás valoszinűségét. Mivel itt egy esemény sorozat valoszinűségét nézed.

[link]

#6, nyilván nem. Az 1/6 azt jelenti, hogy EGY DOBÁSSAL mekkora a valószínűség. Illetve ha az egészet nézzük, akkor a dobott 6-osok számának várható értéke a dobások 1/6-a, vagyis ha 1000-szer dobunk, akkor várhatóan kb. 1000/6 =~ 166-szor fogunk 6-ost dobni.

Annak a valószínűségét sem nehéz kiszámolni, hogy ha 1000-szer dobunk, akkor 1-szer sem lesz 6-os; 5/6 annak a valószínűsége, hogy 1 dobással nem lesz 6-os, 1000 dobással pedig (5/6)^1000 =~ 6,59*10^(-80), ez pedig egy baromi kicsi szám.

Már csak fizikai okok miatt is függetlenek az események, hiszen a dobókocka alakja, anyagi összetétele, fizikai tulajdonságai nem változtak meg attól, hogy miket dobtál eddig. Ha a dobókocka szabályos és a dobás valóban véletlenszerű, akkor 1/6 eséllyel fogsz 6-ost dobni, függetlenül attól, hogy miket dobtál előtte.

Matematikai oldalról nézve az egyszerűség kedvéért vegyük inkább a fej vagy írást.

Ha még nem dobtál egyetlen érmét sem fel, akkor 16 féle lehetséges dobássor létezik: FFFF, FFFI, FFIF, FFII, FIFF, FIFI, FIIF, FIII, IFFF, IFFI, IFIF, IFII, IIFF, IIFI, IIIF, IIII. Ezek mindegyike azonos valószínűséggel fog bekövetkezni. Annak az esélye, hogy négy fejet dobsz, 1:16 (6,25%).

De ha *már* dobtál háromszor, és mind a háromszor fej jött ki, akkor már nem mondhatod, hogy 1:16 az esélye annak, hogy négy fej fog a végén kijönni. Miért? Mert IIFI sorozatot már biztos, hogy nem fogsz dobni, hiszen három fejet dobtál eddig. Két eset maradt csak: FFFI és FFFF, minden más sorozatnak az esélye 0-ra csökkent. Ennek a két dobássornak viszont továbbra is azonos esélye van, így annak az esélye, hogy a negyedik dobásod fej lesz így is 50% lesz, mint ahogy amúgy is vártuk volna egy érmétől.

Dobókockák esetén 21 dobásnál összesen 6^21, azaz kb. húszbilliárd különféle dobássor van, mindegyik azonos valószínűséggel. De miután már dobtál 20-szor, már csak 6 lehetőség maradt:

- (eddigi dobássor), 1

- (eddigi dobássor), 2

- (eddigi dobássor), 3

- (eddigi dobássor), 4

- (eddigi dobássor), 5

- (eddigi dobássor), 6

Minden más lehetőség a kezdeti húszbilliárd lehetőségből már lehetetlenné, 0 valószínűségűvé vált. Ez a hat lehetőség maradt, azonos valószínűséggel.

Tehát sem az nem igaz, hogy a fej sorozat után kisebb lenne az esélye fejet dobni, sem az nem igaz, hogy nagyobb.

~ ~ ~

> Tehát ha mondjuk úgy tesszük fel a kérdést, hogy mennyi a valószínűsége, hogy ezer dobásból legalább egyszer hatost dobunk, az is pontosan 1/6 lesz?

Attól függ. Ha az ezer dobás még előttünk van, akkor az esélye ennek 99,999…nagyon…sok…kilences…%. Ha viszont már túl vagyunk 999 dobáson és volt benne hatos, akkor 100%. Ha túl vagyunk 999 dobáson és még nem volt hatos, akkor lesz az esélye 1/6. Ha csak 990 dobáson vagyunk túl, és még nem volt hatos, akkor meg 83,85%.

#7

"Természetesen befolyásolja a korábbi dobások eredménye a következő dobás valószinűségét."

Helyesen: Természetesen NEM befolyásolja a korábbi dobások eredménye a következő dobás valószinűségét.

Feltételes valószínűséggel is kiszámolhatjuk a kérdező felvetését. Ha már belinkelted ezt a forrást a feltételes valószínűségekről.

Dobjuk fel a kockát 21-szer. "A" esemény: a 21. dobás 6-os. "B" esemény: az első 20 dobás nem hatos. "A∩B" esemény: mindkettő igaz.

Számoljuk ki a feltételes valószínűséget kedvező/összes esetekkel:

P(B)=(5^20)/(6^20)

P(A∩B)=(5^20*1)/(6^21)

P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)=((5^20*1)/(6^21))/((5^20)/(6^20))=1/6