Túlhatározott egyenletrendszernek hány megoldása van?

0:

x=2

x=3

-----

1:

x=2

x=1

------

végtelen sok:

x=x

x=x

------

Lineáris egyenletrendszereknél tudjuk, hogy ha több az egyenlet, mint az ismeretlen, és van megoldása, akkor legfejebb annyi lineárisan független egyenlet lehet, ahány ismeretlen van. Ez azt jelenti, hogy ha például van 10 egyenletünk és 6 ismeretlenünk, akkor 4 egyenlet biztosan lineárisan függő lesz a többihez képest, kérdés, hogy melyek lesznek azok.

Megtehetjük azt, hogy az egyenletek közül kiválasztunk annyit, ahány ismeretlen van (a példában 6-ot), majd az általuk alkotott mátrix determinánsát vizsgáljuk; ha nem 0 az eredmény, akkor szerencsénk van, ugyanis a kiválasztott egyenletek lineárisan függetlenek lesznek, így az általuk alkotott egyenletrendszert meg lehet oldani, aztán megnézni, hogy az így kapott megoldás az eredetinek is megoldása lesz-e, vagy ha nincs megoldásuk, akkor az eredetinek sem lesz. Ha 0-ra jön ki, akkor az egyenletek közül bármelyiket ki lehet húzni, és a maradékra ugyanezt eljátszani, vagyis újra kiválasztani 6-ot, és a mátrix determinánsát kiszámolni. Értelemszerűen ezt addig kell csinálnunk, amíg nem marad annyi egyenlet, ahány ismeretlen van, esetünkben 6-ra kell redukálnunk az egyenletek számát. Ha a megmaradt 6 egyenlet mátrixának a determinánsa is 0-ra jön ki, akkor végtelen sok megoldása van az eredeti egyenletrendszernek is, ha nem 0-ra, akkor ugyanazt kell csinálni, amit már egyszer leírtam.

Még akármi is lehet.

Nem az egyenletek száma számít az ismeretlenek számához képest, hanem a FÜGGETLEN egyenletek száma számít.

x + y = 1

x + 3y = 2

2 egyenlet - 2 ismertelen - 2 FÜGGETLEN egyenlet => 1 megoldás

x + y = 1

x + 3y = 2

2x + 2y = 2 <= 2*(x + y = 1)

3 egyenlet - 2 ismertelen - 2! FÜGGETLEN egyenlet => 1 megoldás

x + y = 1

x + 3y = 2 => 2y = 1 (x + 3y = 2 mínusz x + y = 1)

2x + 2y = 2

x + 4y = 1 => 3y = 1 (x + 4y = 1 mínusz x + y = 1)

4 egyenlet - 2 ismertelen - 3! FÜGGETLEN egyenlet => 0 megoldás

x + y = 1

2x + 2y = 2 <= 2*(x + y = 1)

2 egyenlet - 2 ismertelen - 1! FÜGGETLEN egyenlet => végtelen megoldás