Hogyan lehet bizonyítani azt, hogy egy üreges gömb (gömbhéj) belsejében az eredő gravitációs erő nulla?

Integrálással.

Sajnálom...

Nem tudok az üzenetdobozba rajzolni, tehát képzelj egy kört, és egy B belső pontján átmenő két húrt (A-B-C, A'-B-C'), amelyeknek a körrel való metszéspontjaik az A és C illetve az A' és C' pontok. A BAA' és a BCC' háromszögek hasonlóak, mert az ABA' és a C'BC szög csúcsszög, az AA'C' és a ACC' szög azonos íven nyugvó kerületi szög.

A B pontból az AA' oldalhoz tartozó magasság hossza legyen m, A B pontból az CC' oldalhoz tartozó magasság hossza pedig legyen m'. Legyen az AA' szakasz hossza a, a CC' szakasz hossza pedig c! A háromszögek hasonlósága miatt a/m=c/m'.

Forgassuk meg az ábrát a magasságok egyenese körül a térben! Kapunk két kis gömbsüveget, az egyiknek a tömege a négyzettel, a másiknak a' négyzettel, távolságuk a B ponttól m-mel illetve m'-vel lesz arányos. Az egyik gömbsüveg felületén levő homogén anyag gravitációs ereje a B pontban levő tömegre egyenesen arányos a gömbsüveg felületével, és fordítottan arányos a gömbsüvegnek a B ponttól való távolságával, azaz F~a2/m2, a másiké ellenkező irányú de azonos nagyságú F'~c2/m'2, eredőjük 0. A gömbhéjon levő anyagot így egymásoz közeli húrok elforgatásával keletkező alkotójú kúpokkal egymással nulla eredőt adó gravitációs erejű darabka-párokra lehet osztani, ezért lesz 0 a belsejében levő minden pontja a gravitációs erő.

Hát persze, hogy azzal, de ez a lényeg.

Sajnos, manapság nem tanítják még a határértéket sem, nemhogy a differenciálást és az integrálást. Ha elővenném, szörnyülködnének. Különben is, az volt a feladat, hogy anélkül bizonyítsam be.

Nagy Ferenc gondolatmenete nagyon tetszett, nem gondoltam volna, hogy integrál nélkül megválaszolható a kérdés.

Viszont azt hiszem, van vele néhány baj. Lerajzoltam, azzal jobban látszik.

[link]

- A magasságok nem egy egyenesben vannak. Ez valószínű még nem igazán baj.

- A magasságvonalak nem mennek keresztül a gömb középpontján, ezért megforgatás után a kapott gömbsüvegek nem lesznek rajta az eredeti gömbön.

- A magasságvonal nem felezi az AA' (illetve BB') szakaszt, ezért nem egy gömbsüveg lesz, hanem kettő. Pontosabban a két süveg közötti vastag gömbhéj lesz.

De a gondolatmenet tetszetős, úgyhogy megpróbáltam valami hasonlót összehozni. Itt van hozzá egy ábra:

[link]

Nézzük a gömbnek a metszetét. A P pontban keressük a gravitációt. Legyen A és B a kör olyan átmérője, ami átmegy P-n. Az S pont az AP szakasz egy tetszőleges pontja. AP-re merőlegest állítunk S-ben, ez kimetszi a körvonalon a C pontot. A CP egyenes másik metszéspontja a körvonallal a D pont, ezt a pontot rendeljük hozzá C-hez, S-hez pedig D AB-re vett vetületét, T-t.

A CPS valamint DPT háromszögek hasonlóak (mindhárom szögük egyforma: δ, 90°, 90°-δ), a hasonlóság aránya n: ha a CP oldal hossza r, akkor DP hossza n·r. A CS illetve DT magassságok is m illetve n·m hosszúak.

Csináljunk a C pontból egy icipici CC' körívet úgy, hogy a C' pont nagyon közel van C-hez. A C' pont képe a túlsó oldalon D' lesz. Az ábrán ezekhez az ívekhez tartozó dα illetve dβ középponti szögek vannak felrajzolva, ezekkel az ívek hossza R·dα illetve R·dβ lesznek, ahol R a gömb sugara. (Az R-rel való szorzást elfelejthetjük, mert konstans.)

Be kell látni, hogy dβ = n·dα határértékben, vagyis akkor, ha C' egyre jobban közelít C-hez. Valójában azt kell belátnunk, hogy a DD' ív hossza n-szerese a CC' ív hosszának:

Hátha nem tanult a kérdező határértékszámítást, kicsit pongyolán fogok fogalmazni:

Ha C' közelít C-hez, akkor a C'P szakasz hossza közelíteni fog CP-hez (a túloldalon D'P is DP-hez). A köztük lévő icipici szöget nevezhetjük dδ-nak (a túloldalon is pont annyi). Ha már nagyon közel vannak, akkor vehetjük a szakaszok hosszait egyformának, vagyis r-nek (illetve a túloldalon n·r-nek), ezért a köztük levő ívet pedig vehetjük úgy, hogy az r (illetve n·r) sugarú kör íve. Annak a hossza pedig r·dδ illetve a túloldalon n·r·dδ, tehát tényleg az n-szerese.

Most megforgatjuk az icipici keskeny CC' (R·dα hosszú) illetve DD' (R·dβ hosszú) íveket az AB átmérő körül. A keletkező gömbövek felülete 2mπ·R·dα, illetve 2nm·π·R·dβ. Vagyis a D oldalon n²-szerese a C oldalinak.

Nézzük az egyik (C) gömböv gravitációs hatását.

A P-re ható gravitációs erő "függőleges" (SC irányú) komponenseinek eredője nulla lesz, mert minden ponttal szemben van egy másik az övön, viszont a "vízsintes" (SP irányú komponensek összeadódnak. Pl. a C pontban 1/r²-tel arányos erő hat CP irányában, a "vízszintes" komponense 1/r²·cos δ. A cos δ itt most konstans, tehát nyugodtan elhagyhatjuk, az erő arányos lesz 1/r²-tel. A D pont oldalán ugyanígy az jön ki, hogy az erő arányos 1/(nr)²-tel.

A teljes öv hatása pedig arányos lesz a felülettel (szorozva valami kis vastagsággal meg sűrűséggel, de az megint nem számít) és fordítottan arányos ezzel az r² illetbe (n·r)²-tel. Mivel a felületek között n²-szeres volt a különbség, és a sugarak között is, az erők pont egyformák lesznek.

Ugyanezt meg tudjuk csinálni tetszőleges S pontra A-tól P-ig, az ottani gömböv gravitációs ereje pont kiegyenlíti a hozzá rendelt D oldali gömbövét. Ahogy S végigfut A-tól P-ig, úgy T végigfut B-től P-ig, tehát a gömbövek a gömb teljes felszínét le fogják fedni.

Megjegyzés: Az ábrán az Fc illetve Fd erők képlete nem teljes képlet, csak arányosság. A 2π meg a cos δ nyugodtan elhagyható lett volna, ha már pl. az R-et meg sok mást is (sűrűség, vastagság) elhagytam...

Másik megjegyzés: Azt hiszem, kár volt dα-t meg dβ-t bevezetni, elég lett volna dδ is. De most már mindegy, nem rajzolom újra az ábrát...

Kedves Bongolo!

Köszönöm az ábrát és a kiigazítást.

A lényeg tehát az, hogy a húrok által alkotott háromszögek hasonlóak, és minden kis darabnak a gömb felszínén megvan a gömb túlsó oldalán az ellendarabja, amely kompenzálja a gravitációs erejét, mert a darabkák területének és a belső ponttól való távolságuk négyzetének a hányadosa azonos.

A kérdező kívánsága szerint integrálás és határérték nélkül kellett levezetnem a megoldást.

Hallgatólagosan feltételeztük, hogy gömbhéjak homogének, az anyaguk sűrűsége csak a gömb középpontjától való távolságuktól függ.

Hogy miért és kik törölték a középiskolai tananyagból a differenciál- és integrálszámítást, és mi róluk a véleményem, az itt off-topic és a rendtartásba ütközik.

Induljunk ki a térből, vegyünk fel három pontot a gömbhéjon úgy, hogy a belső pontból a hozzájuk húzott magasság legyen merőleges a három pont síkjára ... bizonyítsuk a hasonlóságot ... finomítsuk a felosztást!

[link]

> Hogy miért nem tanítanak középiskolában differenciálszámítást, integrálást? Szerintem általánosságban nincs rá szükség.

Nincs a fenét! Hiszen a legegyszerűbb fizikai fogalmakat, a sebességet, a gyorsulást differenciálszámítással lehet tisztességesen definiálni, a munkát meg integrálással.