Hogyan kell felírni ennek a Bernoulli egyenlőtlenség bizonyításának levezetését?

(1+x)^n ≤ 1+nx

n=1-re megnézzük:

(1+x)^1 ≤ 1+1·x, rendben van (egyenlőség teljesül)

TFH n-re igaz.

n+1-re:

(1+x)^(n+1) = (1+x)^n · (1+x)

Mivel TFH-ból tudjuk, hogy (1+x)^n ≤ 1+nx

ezért a fentí jobb oldalába ezt behelyettesítve ezt kapjuk:

(1+x)^(n+1) ≤ (1+nx)(1+x) = 1+nx+x+nx^2 ≤ 1+nx+x = 1+(n+1)x

(mivel nx² pozitív)

Kész a bizonyítás. Teljesül n=1-re, mert 1+x=1+x

Ha x=0, akkor azért teljesül, mert a bal oldal 1 az n-ediken = 1, és a jobb oldal is 1.

x=0 esetén az egyenlótlenség éles (vagyis a kisebb-egyenlő-ből az egyenlő teljesül)

- Nincs 2. egyenlőtlenség, valamit félreérthettél.

- Megpróbáltam egy sorba írni, remélem, nem fogja kettőbe törni a gyk.hu

Ja, a "kész a bizonyítás"-nál nem írtam oda, hogy a felette lévő egyenlőtlenség sorból az eleje meg a vége adja azt, amiből látszik, hogy n+1-re igaz lett:

(1+x)^(n+1) ≤ 1+(n+1)x

és ezért vagyunk készen. Ugyanis ha n-re feltettűk, abból a feltevésből tényleg igazolható volt n+1-re. Mivel n=1-re láttuk, hogy igaz, e miatt n+1-re vagyis 2-re is jó, aztán 3-ra, 4-re, stb., minden természetes számra igaz.

Dehogynem, jó, hogy észrevetted. Bizonyára akkor éjszaka fáradt voltam már, nem vettem észre, hogy fordítva írta a kérdező, és bambán úgy hagytam. Elnézést.

Persze a levezetés is csak úgy igaz, ha ≥ a reláció, hisz az volt kihasználva, hogy n·x² ≥ 0.

És persze x ≥ -1 esetén igaz az egész, nem pedig x ≤ -1-re, ahogy a kérdező írta. Egyébként nem teljesülne, hogy

mivel

    (1+x)^n ≥ (1+nx)

ezért

    (1+x)^n·(1+x) ≥ (1+nx)·(1+x)

mert megfordulna az egyenlőtlenség iránya a negatívval szorzás miatt.