Egy derékszögű háromszög átfogójának méretének, valamint a befogók arányainak ismeretében hogy tudom a befogók méretét kiszámítani? (Egyáltalán ki lehet ennyiből? )

Ha felírod a Pitagorasz tételt úgy, hogy az egyik befogót a másikkal fejezed ki az arányuk alapján, akkor csak a befogó lesz az ismeretlen.

Vagy másképpen: Pitagorasz tétel és a két befogó aránya egy kétismeretlenes egyenletrendszer.

Legyen a háromszög átfogója c, a befogói a és b, befogói aránya a/b = x. Adott c és x, ezekkel kell kifejeznünk a-t és b-t. Van két egyenletünk az elsőt már felírtam:

1) a/b = x -> a = bx.

A másikat a Pitagorasz-tétel szolgáltatja:

2) a^2 + b^2 = c^2.

A másodikba helyettesítve az elsőt:

(bx)^2 + b^2 = c^2 -> b^2*(x^2 + 1) = c^2 -> b^2 = c^2/(x^2 + 1).

Mivel b mindenképpen nagyobb mint 0, ezért egyszerű gyökvonással adódik, hogy

b = gyök(c^2/(x^2 + 1)) = c/gyök(x^2 + 1).

Az 1) egyenlet alapján a = b*x = c*x/gyök(x^2 + 1).

Tehát ha az átfogó hossza c, és a befogók aránya x = a/b, akkor az egyik befogó hossza c/gyök(x^2 + 1), a másiké ez szorozva a befogók arányával.

Ha komplikálni akarunk, akkor helyezzük koordinátarendszerbe, és szerkesszük meg.

Az átfogó legyen c. Vegyük fel az A(0,-c/2) és B(0,c/2) pontokat, a C-t keressük. C(cx,cy) rajta lesz a thálesz-körön, azaz az

cx^2+cy^2 = c^2

egyenleten. És tudjuk, hogy AC/BC=λ, AC^2/BC^2=λ^2

cy^2+(cx-(-c/2))^2=λ^2(cy^2+(cx-(c/2))^2)

Apollóniusz körön is rajta lesz. Ez két köregyenlet, ezeknek a metszését már ki tudod számolni.

Nem is feltételen bonyolultabb az enyém, csak a kérdésre irányul.

Esetleg még másképp: Felveszel egy C pontot, C középponttal egy derékszöget és két kört lambda sugáraránnyal, amik kimetszenek egy A0 és B0 pontot, ami meghatároz egy c0 átfogót. Ezt az ábrát C-ből nagyíthatod c/c0 aránnyal, és voila, meg is vagy.

Ez főleg Vivien Dórának. Zsebkendő nélkül, geometriával.