Y'' (x^2+1) =2xy' differenciálegyenlet megoldása? Y (o) =0 és y' (1) =2 Y (x) =? c1=? - konstans 1 c2=? - konstans 2

Remélem, jól értem a feladatot (zavar a kis y, nagy Y).

Akkor átírva:

y" = 2x/(x^2+1)*y'

Első lépés rendszám csökkentés, bevezetjük a p függvényt legyen

p=dy/dx=y'. Ekkor egyenletünk

p' = 2x/(x^2+1)*p alakot ölt.

Ez már elsőrendű, ráadásul szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Más formában írva:

(1/p)dp = [2x/(x^2+1)]dx Integrálva:

∫(1/p)dp = ∫[2x/(x^2+1)]dx+C

A bal oldal integrálja ln|p|

A jobb oldalon vegyük észre, hogy f'(x)/f(x) alakú integrandus van, hiszen (x^2+1)' = 2x. És

∫[f'(x)/f(x)]dx = ln|f(x)|+C így

∫[2x/(x^2+1)]dx = ln|x^2+1|+C = ln(x^2+1)+C

mert x^2+1 mindig >0. Továbbá legyen C=ln(c1) c1>0. c1 - konstans, az 1-et alsó-indexbe írnám. Egyenletünk:

ln|p| = ln(x^2+1)+ln(c1) alakot öltött, amiből

|p| = (x^2+1)*(c1) Integrálva

y = ∫[(x^2+1)*(c1)]dx+(c2)

y = (c1)*[(x^3)/3+x]+(c2)

A peremfeltételek:

y(0)=0 miatt (c2)=0

y'(1)=2 miatt (c1)=1

Neked hagyom annak vizsgálatát, hogy mi következik abból, hogy

|p| = p ,ha p≥0 és

= -p

Lemaradt a végéről (a szándékoltnál előbb ment el a válasz):

|p| = -p ,ha p<0.

Én ugyanis csak a |p|=p esetet vizsgáltam.