Adott az S=1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 +. +1/2012*2013 a) Igazoljátok, hogy 1/x (x+1) = 1/x - 1/x+1 bármely x eleme R halmaznak -{-1;0} és S=2012/2013 b) Igazoljátok, hogy 0,9995<S<0,996?

Közös nevezőre hozással látszik, hogy 1/x-1/(x+1)=1/(x(x+1)). Az S tagjai éppen 1/(x(x+1)) alakúak, ahol x megy 1-től 2012-ig. Ha beírod, hogy 1/(x(x+1))= 1/x-1/(x+1), akkor ezt kapod: 1-1/2+1/2-1/3+1/3-...-1/2013. Mindenki bejön egyszer + egyszer - előjellel, kivéve az első és az utolsó tagot. Tehát a "közepe kiesik" és marad 1-1/2013, ami tényleg 2012/2013. Mivel S=1-1/2013, 0.9995=1-1/2000 és 0.996=1-1/250, így a második következik abból, hogy 1-1/x szigorúan monoton tart 1-hez.