Kombinatorikai feladatok, mik a megoldások magyarázatai?

Az elsőt ismétléses permutációnak hívják. Permutációt akkor használsz, ha sorba kell rendezned valamit, tehát egy szót kapsz, vagy stringet. Például az aba-t megkülönbözteted az aab-től.

A képlet magyarázata: ismétlés nélküli permutációból lehet levezetni. Az ismétlés nélküli permutáció képlete egyszerű, n elem n! féle képpen állhat sorba. Az első helyre állhat n féle elem, a második helyre n-1, a harmadikra n-2 és ezek sorzata lesz a végeredmény. A sima permutációt remélem te is elhiszed.

Az összes esetnél valamivel kevesebbféle eset lesz, ha vannak ugyanolyan elemeink. A tiednél egy egyszerűbb példa: 10 golyó, 0-9-ig számozva. 10! féle képpen rakhatod őket sorba. Ha az 1-es golyó feliratát átírod 2-esre (és csak a feliratokat tekinted) akkor 10!/2 különböző eseted lesz. Miért is? Veszed a régi eseteket, mindegyikben vannak valahogy a golyók, és az 1 vagy a 2 feliratú golyó van hamarabb. Például nézed az 7681923045 és a 7682913045 kombinációkat. Ezek helyett, az új esetben csak egyféle, 7682923045 eset lesz. Tehát végig tudsz menni a sima permutáció összes esetén, csoportosítani tudod őket párosával, és minden párból csak egy lesz ami külön eset lesz, tehát az előző, 10! eredményt elosztod 2-vel. Eddig remélem érthető.

Most a 3-ast is átírod kettessé: 3!, azaz 6-osaával tudod csoportosítani az eseteket, XXX1X23XXX, XXX1X32XXX, XXX2X13XXX, XXX2X31XXX, XXX3X12XXX, XXX3X21XXX, (ahol az X-ek minden helyen ugyanazt jelölk, de nem feltétlen különböznek). Az új rendezésben, ahol az 1,2,3 át van írva 2-re, e hat eset helyett mindenhol csak 1 eseted lesz: XXX2X22XXX. Ez 10!/3!. Ez a művelet akkor is működik, amikor az összes többi elem nem feltétlen különbözik egymástól: megteheted azt is, hogy a 4-eseket 5-össé írod úgy, hogy a 2-eseket meghagyod, ekkor 10!/3!*2! különböző eseted lesz. Ez a magyarázata az ismétlés permutációnak. A te példádban: feltételezed, hogy a 16 golyó mind különbözik (ez 16!), majd az olyan eseteket, ahol nem különbözik a 10 golyó, (ez 10!) mind egyetlennek tekined: 16!/10!. Ugyanezt a piros és kék golyókkal: 16!/(10!*4!*2!)

A második feladatnál muszáj minden könyvet kiosztani? Ha nem, akkor elég bonyolultnak tűnik általánosan.