Minden zárt rendszerben tehető egy olyan állítás ami se nem igazolható se nem cáfolható!?

hmm, matematikailag itt egy zárt rendszer (automata):

léteznek A és B egyedek

mindkét egyednek két állapota lehet, 0 és 1

A kezdőállapot: A=1 B=0

A szabályok: ha egy egyed értéke 1, akkor a következő időpillanatban a másik egyed értéke az ellenkezőjére változik.

én nem tudok ilyen állítást kitalálni most, de késő van :)

Se nem igazolható, se nem cáfolható… Hát ennek többféle vetületben lehet értelme.

Egyrészt ott vannak Gödel tételei. Ezek írják le, hogy minden olyan axiómarendszerben, ami tartalmazza a természetes számok rendszerét, akkor ha minden állítás bizonyítható, akkor a rendszerben van legalább egy állítás, ami egyaránt bizonyítható is és cáfolható is. Ha kizárjuk az ilyen bizonyításokat, akkor mindenképpen lesz olyan állítás, ami bár szükségszerűen vagy igaz, vagy hamis, mégsem lehet sem bizonyítani, sem cáfolni az állítást. (A második tétele meg azt mondja ki, hogy van olyan állítás, amiről nem dönthető el, hogy gödeli állítás, vagy létezik az állítás bizonyításához, vagy cáfolatához út.)

Érthető példát nehéz erre mondani. Talán a kontinuumhipotézis a legjobban emészthető. Lásd: [link]

Több példát nem nagyon tudok, de gödeli kérdésekre rá lehet keresni. Egy könyv jut még eszembe: Raymond Smullyan: A hölgy vagy a tigris?, ezen belül is A monte-carlói zár rejtélye című fejezet. Ebben gyakorlatilag egy konkrét példán keresztül vezeti le Gödel tételeit. Kell hozzá jó pár oldal, és nem is olyan könnyű követni, de azért lehet és ha valóban érdekel, akkor szórakoztató is. De kétségtelen, hogy ilyen gödeli kérdéseket érthető, egyszerű módon nem lehet pár sorban tálalni.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Van olyan dolog, ami jellegénél, definíciójánál fogva nem eldönthető. Pl. „A hátad mögött van egy láthatatlan, és semmilyen módon nem érzékelhető manó.”. Hogy bizonyítod? Hiszen nem érzékelhető? Esetleg elkapod. Csakhogy ez ellentmond a definíciójának, hiszen az elkapás is egyfajta érzékelés. Hogy tudnád cáfolni? Szintén sehogy.

Isten is ilyen egyébként. Hogy bizonyítod, hogy létezik? Hogy bizonyítod, hogy mindenható, hogy öröktől létező? Erre nem igazán van mód. Még ha teremt neked egy fél világot, akkor is kérdés, hogy a másik felét is meg tudná-e teremteni, vagy annyira azért nem mindenható. (Mondjuk a mindenhatóságnak elve van egy paradox jellege, de ezt most hagyjuk figyelmen kívül.) És hogy cáfolod Isten létezését? Hogy nem látod sehol a működését? Azzal maximum azt bizonyítod, hogy az általad éppen vizsgált dologba nem szólt bele…

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Meg persze van olyan állítás, ami a fizikai törvények korlátja miatt nem bizonyítható vagy cáfolható egy adott ideig. Pl. az az állítás, hogy „tegnap két szupernóva is volt az Androméda-galaxisban”, az legalább 2,5 millió évig nem eldönthető kérdés, mert annyi idő kell, míg bármilyen információ ideér az eseményről.

Ugye még vannak a paradoxonok. Itt igazából nem teljesen arról van szó, hogy egy állítás igazolható-e, vagy cáfolható-e, hanem arról, hogy bizonyítottan egyik sem.

Ilyenből Dunát lehet rekeszteni, csak rá kell keresni Google-n.

Annyit hozzátennék, hogy olyan állításokról van szó, melyek saját igazságtartalmukról szólnak, a gödeli mondatok is ilyen logikával konstruálhatóak.

Egyébként ezt a "Hölgy vagy a tigris" című könyvet én is ajánlom, szerintem élvezetes olvasmány.