Hogyan tudom megmondani, hogy hol érvényes a Picard-Linderlöf-tétel?

Az a.) és b.) feladat nem tekinthető k.é.p-nek, ugyanis nem adtak hozzájuk kezdeti értéket. A d.) feladattal pedig az a gond, hogy a d.e. jobb oldalán álló kétváltozós függvény értelmezési tartománya nem tartalmazza a (0,0) pontot. Gondolatsort még folytatni fogom. Sz. Gy.

A c.) feladattal is gond van. Ugyanis azt általánosan megoldva kapjuk, hogy y'/y=tg(x), azaz dy/y=tg(x)*dx, azaz Ln(y)=-Ln(cos(x))+Ln(c), azaz y=c/cos(x), ahol c az integrálás során keletkező konstans. Ha kikötésre nézünk, akkor 0=c/1 egyenletből azonnal adódik a c=0 elvárás, ami ellentmond Ln(c)-t tartalmazó kifejezésnek. A gondolatsor folytatása következik. Sz. Gy.

Mielőtt folytatnám a d.e-k megoldását, tennék egy-két megjegyzést az általad említett tételekkel kapcsolatban. Gyakorlatilag a Peano-féle egzisztenciatétel élesítésének fogható fel a Picard-Lindelöf-féle unicitástétel. Nézzük meg ezek után mit is mond ki ez a tételkör. Veszünk egy f(x,y) kétváltozós függvényt, amely folytonos egy T tartományon és ott teljesíti y változóra a Lipschitz-féle feltételt. Ekkor tetszőlegesen rögzített T-be eső (kszi, eta) esetén a y'=f(x,y), y(kszi)=eta k.é.p. egyértelműen megoldható. Tehát a megoldás során nem juthatunk semmilyen ellentmondásra sem. És most folytatnám az a.) általános megoldásával. Itt bevezetünk egy új változót: u=x/2+y. Ekkor y'=u'-1/2, azaz u'-1/2=u, du/(u+1/2)=dx, Ln(2u+1)=x+c, 2u+1=e^(x+c), u=c*e^x-1/2. Visszahelyettesítve u-t, adódik y=c*e^x-(x+1)/2 általános megoldás. Ha itt is kikötöm az y(0)=0, hogy k.é.p-el dolgozzak, akkor c=1/2 van szükségünk. Van még egy igen fontos tényező, hogy egyáltalán el tudjuk dönteni a Lipschitz-féle feltétel teljesülését, nevezetesen kell az f(x,y) y-szerinti parciálisának a T-n való folytonossága is. Visszatérve az a.) feladatra nyerjük, hogy f(x,y)=x/2+y, azaz az y szerintije 1. Ez pedig folytonos mindenhol. Tehát a feladatnak van egyértelmű megoldása, mint ahogy láttuk is. Itt megint kell egy megjegyzés, az alkalmazott matekosok nem mindig tudják ilyen szépen egzaktul megoldani az ilyen feladatokat, általában a "szukcesszív approximáció módszerét" vetik be, ahhoz kell, hogy egyáltalán megtudják jósolni a módszer bevethető-e. A második feladat megoldásával folytatom. Sz. Gy.

A b.) feladatról jól látható, hogy y nem lehet zérus. Viszont az is szétválaszthatók a változók, tehát y*y'=x-1, azaz ydy=(x-1)dx, azaz y^2=x^2-2x+c. Az y(0)=0 k.é.p.-el nem dolgozhatunk, helyette választjuk az y(0)=1 feltételt és így c=1. Ebben az esetben y=|x-1|. A k.é.p. ÉT-je ebben az esetben az x-tengely kivételével a teljes sík. A megfelelő parciális derivált sem mond ezeknek ellent, mert az (x-1)/y^2 lesz, és a (0,1) pontban az értéke -1 lesz és folytonos. Sz. Gy.

A hosszúra nyúlt válaszaim befejező és összegző gondolatokat követelnek. A k.é.p.-et a kezdeti érték probléma jelölésére alkalmazzák. a.) és b.) feladatot ki kellett egészíteni az y(0)=0 feltétellel, hogy egyáltalán k.é.p.-ről beszélhessünk. a.) esetén a kérdésre a válasz a teljes sík szóba jöhet, hisz ott a parciális derivált 1 lesz, ami szintén mindenhol értelmezhető. b.) y(0)=0 esetén az üres halmaz lesz, míg y(0)=1 esetén a teljes sík az x-tengely kivételével. c.) és d.) feladatokról beláttuk, hogy ellentmondásokat tartalmaz és csakis az üres halmazok jöhetnek szóba. És itt a vége. Sz. Gy.