Mutassuk meg hogy bármely k, l, m pozitív egészekre igaz hogy x^2+x+1 osztója az x^ (3k+2) +x^ (3l+1) +x^ (3m) -nek?

Azon alapul, hogy (x^2+x+1)*(x-1)=(x^3-1).

k=1, l=1, m=1 esetre triviálisan igaz ugye.

Innen "többszörös" teljes indukcióval lépegethetünk.

Tekintsünk egy k, l, m számhármast:

x^2*x^(3k)+x*x^(3l)+x^(3m)

Ha az egyiket növeljük 1-gyel:

x^(3(m+1))-x^(3m)=x^(3m)[x^3-1]

Ekkor az oszthatóság ténye nem változik a kiinduló azonosság miatt.

Ezt tagonként és egyesével növelve az (1;1;1) számhármasból bármelyik számhármasig eljutunk.

bocs:

a kiinduló eset k=0, l=0, m=0 természetesen...