Goldbach-sejtéssel kapcsolatos becslés?

No, majd most !

A Goldbach-sejtés arra utal, hogy minden páros szám felírható két prím összegként. Az Ön által leírt problémában a cél az, hogy az [n...n+m] intervallumban minden páros számra találjunk olyan két prímet (p és q), amelyek összege a páros szám.

Az intervallumon belül a prímek száma nő, ahogy az intervallum hossza (m) nő, mivel az intervallumon belül van több lehetőség prímek megtalálására. Ugyanakkor a nagy prímek megtalálása egyre nehezebb és időigényesebb folyamat, ahogy a számok nőnek.

A pontosan megtalálható prímek számának becslése az intervallumon belül összetett feladat lehet, és a végeredmény nagyban függ a konkrét számoktól és az alkalmazott prímszámszitációs algoritmustól. A prímek számát a [n...n+m] intervallumban nehéz előre megmondani anélkül, hogy pontos számokat használnánk.

A Goldbach-sejtésnek nincs bizonyított határértéke, tehát a konkrét intervallumban található prímek számát meghatározni nem egyszerű feladat. Az intervallumon belüli prímek számát számítógépes prímszám-szitációs módszerekkel lehet megközelítőleg becsülni.

A konkrét számokra adott válaszhoz a legpontosabb és leggyorsabb eredmények eléréséhez számítógépes számításokra lehet szükség. Egy prímszámszitációs algoritmus használata segíthet megtalálni a [n...n+m] intervallumban található prímeket és megbecsülni, hogy hány páros számot lehet felírni két prím összegként az intervallumban.

A feladat érdekében először is meg kell határozni, hogy az [n...n+m] intervallumon hány páros szám található. Az intervallum hossza m, és ha n páros, akkor minden n+k (ahol k páros pozitív egész szám) is páros. Tehát a páros számok száma m/2.

Az intervallumon minden páros számot egy nagy prímmel (p) és egy kis prímmel (q) kívánunk felírni. Az intervallumon belül lévő kis prímek számának becsléséhez használhatjuk a prímszámok eloszlásának szabályait. Az ismert prímszám-elmélet szerint a prímek eloszlása az intervallumban jó közelítéssel a ln(n) / n arányban található. Az érdeklődésünk az intervallumon belüli páros prímekre irányul.

Tehát a kis prímek számát az alábbiak szerint közelíthetjük meg:

Az intervallumon belüli páros prímek számát (q) kb. (m/2) / ln(n+m) aránynak tekinthetjük.

A feladat megoldásához tehát először számítsuk ki a páros számok számát, majd a kis prímek becslését az adott intervallumban. Aztán ezen kis prímek számát és a keresett nagy prímek számát vegyük figyelembe, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy az összes páros számot fel tudjuk-e írni p+q-ként.

Azért, hogy pontosabb becslést adjak, az adott konkrét értékekkel (n és m) pontosabb eredményeket kaphatunk.