A 10^40 ± fél billió tartományban lévő egész számoknak mekkora hányada állítható elő, két db, a 10^20 ± fél billió tartományban lévő egész szám szorzataként?

Érdekes feladat, honnan van?

Próbáljuk a 10^20 körüli párokat felírni.

A (10^20 - a)*(10^20 + a) alakú szorzatok ugye jók egészen a=0-tól a=gyök(félbillió)-ig, hiszen a szorzatok eltérése 10^40-től pontosan a^2, ami a kiírás szerint legfeljebb félbillió lehet. Tehát gyök félbillió, azaz 707106 számpár szorzata már tudjuk, hogy jó.

De ezen kívül (10^20 - a)(10^20 + a + 1) alakú szorzatok is jók lehetnek, ezek eltérése 10^40-től, ha kifejted a szorzatot, láthatod, hogy 10^20 - a*(a-1). Ez ugye nagyobb kell, hogy legyen, mint mínusz félbillió és kisebb mint plusz félbillió. A két másodfokú egyenlőtlenséget megoldva nekem kijön, hogy ezt 9999999976 <= a <= 10000000025, azaz mindössze 50 számpár teljesíti.

(10^20 - a)(10^20 + a + 2) alakú szorzatokra ugyanez végigcsinálva: 14142135608 <= a <= 14142135642, azaz 35 számpár jó.

3-mal ugyanez 29 számpár, 4-gyel 25, 5-tel 22, tehát szűkül az intervallum, és előbb-utóbb nyilván el is fogy, na meg a már meglevő 707 ezerhez képest ez semmi, dehát azért meg kell említeni.

Szóval nagyságrendileg gyök félbillió plusz párszáz lehet a megoldás, tehát leges-legfeljebb 708 ezer a 10^40 körüli egybillió számból. Azaz durván minden 1.41 millió számból egy.