X*sin (x) = 10^7 megoldása?

Értelmezzük először a függvényt az x(k) = Pi/2 + 2kPi diszkrét pontokban. Ilyenkor sin(x(k)) = 1, tehát maga f(x(k)) = x(k)*sin(x(k)) = x(k). Ez alapján 10^7 körül lesz az érték, az ehhez legközelebbi pont:

x(k) = Pi/2 + 2kPi ~ 10^7

ebből k = 10^7/2Pi - 1/4

k = 1591549.18

Felülről közelítve: k = 1591550

Visszaszámolva x(k) = 10000005.1464

Ellenőrizve: x(k)*sin(x(k)) = 10000005.139

Egész közel sikerült eltaláljuk.

Innentől Newton-módszerrel haladhatunk tovább. Ha van egy közeli becslésünk x0, akkor egy pontosabb becslést ad:

x1 = x0 -(f(x0) - 10^7)/f'(x0)

Ahol f' a függvény deriváltja, esetünkben sin(x) + x*cos(x).

x0=10000005.1464; f(x0)=10000005.139181232; f'(x0)=380.968

x1=10000005.132910194; f(x1)=9999090.139019305; f'(x1)=135274.9811

x2=10000005.139636206; f(x2)=9999773.818527365; ...

x3=10000005.142961502; f(x3)=9999944.7128838;

x4=10000005.14455177; f(x4)=9999987.355288478;

x6=10000005.145406872; f(x6)=9999999.829304405;

x7=10000005.145423425; f(x7)=9999999.998636553;

x8=10000005.14542356; f(x8)=9999999.999997245;

Ez már elég pontos, úgy érzem. Amúgy az elsőnek: a szinuszfüggvény megállapodásként radián argumentumú, a megoldásod csak szögként működik. A számológép szerint lehet jó, de nem ez a valódi megoldása az egyenletnek.

Amúgy ha a számológépbe nem fér be a szám, akkor levonhatsz belőle 1591550*2*Pi-t, azzal kiszámolod a szögfüggvényeket, utána pedig ketté bonthatod a szorzásnál:

x*sin(x) = (a+b)*sin(x-2kPi) = a*sin(x-2kPi) + b*sin(x-2kPi)

Pl. a = 10^7 és b = 5.14542356