Milyen számjegyekkel kezdődik az alábbi kifejezés értéke?

Anno az egyetemen volt hasonló feladat. A külöbség az volt, hogy az ilyen kérdések úgy szóltak, milyen számjegyekkel végződnek. (Konkrétabban volt a kérdés : Mi az utolsó számjegye vagy mi az utolsó 2 számjegye ... ) A végződés sokkal-sokkal könnyebben kiszámolható. Az utolsó k számjegy értéke a kitevő függvényében periódikusan ismétlődik.

Az első k számjegy esetében nincs ilyen periódus. Triviálisan az egész számot ki kéne számolni, akkor is ha csak az első néhány számjegye kell. Ez viszont messze messze több számjegy lenne mint amennyi a belátható univerzum anyagi részecskéinek száma. Ha egy részecskén egy számjegyet tudnék tárolni, így bőven kevés lenne az egész belátható univerzumot a szám számjegyeinek tárolására használni. Összehasonlításként ilyen adatszűrűséggel a teljes internet adatmennyisége elférne a tenyeremben, csak gondoljunk az Avogadro-számra, az több mint az egész internet ahány bájt. Egy kanál vízben ennyi atom van.

Annyit tudok rajta optimalizálni rajta hogy elég nagyon nagy pontossággal kiszámolni az ln(3)/ln(10)*(3^(3^(3^3))) majd a törtrészét inverz 10-es alapú logaritmussal számolni. A hatványtornyot abszolút pontosan kell kiszámolni. A hatánytorony kiszámításának memóriaigénye legalább terabájt nagyságrendileg, ami gyakorlatilag több terabájt, az overhead miatt a tíz terabájtot is súrolhatja. Az ln függvény megfelelő pontossága hozzá becslésem szerint még számításigényesebb. A természetes logaritmus definíció szerinti Taylor sora általános esetben nagyon lassan közelít, legalábbis a nagy számokat, gyorsabban közelít a speciálisan a csak a ]0 2]-es intervallumban megadott tartományban érvényes ln függvény Taylor-sora. Így elvileg gyorsabb, ha így sorfejtjük azaz ln(10) = 2 + ln(10/e/e), és ln(3) = 1 + ln(3/e) ahol e-t is Taylor-sorral kell közelíteni. Vagyis az ln(3)/ln(10)*(3^(3^(3^3))) több tizedesjegyig, majd a tizedesrészét kell inverz tizes alapú logaritmussal számolni.

Ez már kiszámolható lenne számítógéppel, de így is túl sok hogy beleférjen az én számítógépemmel. Össz vissz mindennel együtt néhány 10 terabájt memóriaigénnyel kiszámítható.

@11:19

Tulajdonképpen arra gondoltam, de már tovább gondoltam a 4 alapműveletre visszavezetve a műveletek számának csökkentésével volt az ln függvénnyel a "bűvészkedés", persze a részletekbe nem mentem bele. Pl. a hatványozás szorzásra visszavezetve gyorsabb a gyorsatványozás amik szintén szorzások csak exponenciálisan kevesebb szorzótényezőkkel.

Ha arra mondod hogy "csak a legfelső hármast kettesre cseréltem, hogy számítható legyen", hogy most 2022-ben egy most boltban kapható pc-vel nem számítható akkor igaz. Viszont mint mondtam van az a gép aminek van annyi memóriája hozzá és ki bírná számolni.

Az összes valós fizikai gép a Turing-gépeknek korlátozott képességekkel rendelkező változata. Lényegében a Turing-gépekkel szembeni korlátozó tényezők a valós gépek esetében az idő és tár/memória korlát. Turing-géppel kiszámítható maga a teljes szám is, hiszen véges memória/tár igénye van és véges lépést igényel.

Ugyanis vannak olyan számítási problémák melyek Turing-géppel sem számíthatók.

Például az algoritmikus információelmélet számítástechnikai részterületén vannak a Chaitin's konstansok vagy máshogy mondva Chaitin-Ω-ák vagy még máshogy mondva megállási valószínűségek. Bizonyított, hogy az értékük nem számítható ki.

Még példa busy beaver magyarul elfoglalt hód. Ami az elméleti informatikában egy játék melynek célja, egy adott méretű befejező program megtalálása, ami a lehető legtöbb kimenetet produkálja. Mivel könnyen lehet végtelen ciklust csinálni, így örökké futó programot írni, ezért ezen programok ki vannak zárva a versenyből. A részletekbe nem belemenve megemlítem, hogy mindössze csak 5 állapotú

gép esetében már nem ismert melyik program a hódbajnok. jelöljük Σ(n)-el az n állapotú gép hódbajnok amennyi kimenetet produkált. Ekkor ez a Σ(n) függvény létező függvény, de matemaitai értelemben is kiszámíthatatlan és aszimptotikusan gyorsabban nő bármely kiszámítható függvénynél.