Igaz, hogy a Fibonacci számoknak az első 10 számjegye mindig ugyanaz az 53. -tól kezdve, mint a 3868021406. -tól kezdve?

Ötlet:

Fn = [φⁿ / √5]

ahol φ az aranymetszés ( (1+√5)/2), a [] jel pedig a legközelebbi egész számot jelenti.

Ezért F(n+3868021406-53) / F(n) ≈ φ^ (3868021406-53)

Az pedig ennyi:

[link]

1.00000000003556714874747497823218653182721766105... × 10^808368655

(10 darab 0 van az 1-es után, lehet, hogy a gyk.hu kihagy belőle néhányat, szokott ilyen viccet csinálni...)

szóval úgy tűnik, akár igaz is lehet.

Az első 10 jegyű Fibonacci az F45, arra is igaz, hogy ugyanaz, min az F(45+3868021353) eleje.

Onnantól 51-ig mindre igaz, az F52-re viszont nem: F52 = 32 951 280 099 (11 jegyű), a 3868021353-mal odébb lévő pedig így kezdődik:

32 951 280 100 171 983 080 706...

Az F52 végén lévő 99 okozza a gondot, túlcsordul 100-ra, amikor az F52 · 0.3556714... hozzáadódik az F52·10^10-hez (ugye nem kell jobban magyarázni?)

Azért mázli kell ahhoz, hogy ez máskor ne forduljon elő... Van is ellenpélda:

F58 = 591 286 729 879

(A 879-ben a 8-as a tizedik számjegy.)

F58·0.3556714 = 21.0303 · 10^10

A 21 adódik hozzá a 879-hez, aminek túlcsordulás az eredménye, 900 lesz, ezért csak az első 9 számjegy lesz egyforma.

F(58+3868021353) = 591 286 729 900 030 383 074 ...

... És könnyen lehet is találni olyan számot.

Ez a 3868021353 bizonyára úgy jött ki valakinek, hogy vette az lg φ lánctört alakját; pl. a WolframAlpha is megcsinálja azt helyetted:

[link]

A "Continued fraction" címszónál klikkelj a "Fraction Form"-ra, szépen kirajzolja a lánctörtet.

Ha annak vesszük az első 23 tagját, pont ezt a bűvös számot kapjuk:

[link]

808368655 / 3868021353

... ami azt jelenti, hogy

φ ^ 3868021353 ≈ 10^808368655

Ha a lánctörtből több tagot veszel, pontosabban közelíted az aranymetszés 10-es logaritmusát, és több nulla lesz az 1-es után (már akkor, ha a lánctört értéke nagyobb az lg φ-nél -- vagyis páros darab taggal kell bővíteni, hisz a lánctört felváltva alul- majd túlbecsli az értéket.)

Mondjuk vegyük az első 31 tagot:

[link]

lg φ - 35136556069959/168127435804006 :

[link] +-+35136556069959%2F168127435804006

= 2.08096511... × 10^-29

Ami azt jelenti, hogy φ^168127435804006 (ezt a Wolfram valamiért már nem tudja kiszámolni, nem adok linket), szóval ennek az értéke ennyi:

10^(35136556069959 + 168127435804006 · 2.08096511... × 10^-29)

= 10^35136556069959 · 1.0000000000000080559929...

vagyis 14 nulla van az 1-es után.

Nagyon szép megoldás!

Nem is muszáj a végtelent erőltetni:

 n-1

  Σ   2^k = 2^n - 2

k=1

vagyis tetszőleges n-re pontosan 2 a különbség a szumma és az n-edik hatvány között, ami már viszonylag kis n-eknél is elhanyagolható 2^n-hez képest.

És az ötleted ugye az, hogy φ^x = 2 esetén a keresett egyenlet a fentihez nagyon hasonló.

Amiből x ≈ log_φ(2) vagy 1/log₂(φ) vagy ln(2)/ln(φ) vagy persze 10-es alapú logaritmus is jó, ahogy írtad.

Meglepően pontos az eredmény... Az F(2015)^x egy 607 jegyű szám; a Wolfram a szummából csak az első kb. 100 jegyet tudja normál idő alatt kiírni, de odáig megegyeznek:

[link]

[link]

Valamit elnézhettél, annál azért sokkal nagyobb az eltérés, és nem is konstans.

51-ig a szumma a kisebb, 52-től már az a nagyobb, és egyre nagyobb

[link]

A relatív hiba azért nem túl nagy: 52-nél 2·10^-17, 100-nál 10^-14 nagyságrendű, 200-nál 3·10^-14, 500-nál 8·10^-14, 1000-nél viszont kicsit csökken, csak 10^-13, stb. (Utána már nem nagyon akarja a Wolfram kiszámolni nekem véges idő alatt.)