Igaz, hogy a Fibonacci számoknak az első 10 számjegye mindig ugyanaz az 53. -tól kezdve, mint a 3868021406. -tól kezdve?

Fura...

írtam nekik, hogy valamit rosszul számolnak, remélem lesz majd válasz.

Szerintem megvan a 0.392368 oka...

Kell először egy másik megoldás a feladatra, illetve egy általánosabb feladatra:

Keressük azt az x-et, amivel minden megfelelően nagy n esetén teljesül ez az egyenlet:

F(n)^x = Σ F(k)^x     [k = 1 .. n-1]

Adjunk hozzá F(n)^x-et mindkét oldalhoz:

2·F(n)^x = Σ F(k)^x [k = 1 .. n]

Ha van ilyen x, akkor a jobb oldal F(n+1)^x !

Mivel F(n+1)/F(n) ≈ φ nagy n-ek esetén, ezért 2 = φ^x

→ x = log_φ(2)

Nézzünk egy másik feladatot:

Keressük azt az x-et, amivel minden megfelelően nagy n esetén teljesül ez az egyenlet:

F(n)^x = Δ + Σ F(k)^x [k = 1 .. n-1]

ahol Δ egy tetszőleges szám.

Az előző levezetéshez hasonlóan:

2·F(n)^x = Δ + Σ F(k)^x [k = 1 .. n]

2·F(n)^x = F(n+1)^x           (eltűnt a Δ !!)

→ x = log_φ(2)

Vagyis ugyanaz az x mindkét egyenletnek megoldása. Ez elsőre nem tűnhet igaznak, és valójában nem is igaz! Valójában csak a másodiknak a megoldása, mert az F(n+1)/F(n) ≈ φ kis n-ekre nem teljesül. Választhatunk egy N küszöböt, hogy n≥N esetén a kívánt számolási pontosságon belül igaznak tekintjük, hogy F(n+1)/F(n) = φ. Ekkor

Δ = F(N)^log_φ(2) - Σ F(k)^log_φ(2)     [k = 1 .. N-1]

képlettel kijön Δ értéke, minden n>N esetén pedig a számolási pontosságon belül ugyanaz is marad a második feladat levezetése szerint.