Harmonikus és mértani közép közötti egyenlőtlenség bizonyítása?!

[link]

Szerintem ez elég korrekt, de ha valami nem világos innen, akkor szívesen elmagyarázom.

Feltételezzük, hogy 0 < a,b és induljunk ki egy triviális összefüggésből:

0 ≤ (√a - √b)²

⇓

2√(ab) ≤ a + b

osztva (a + b) -vel és

beszorozva √(ab) -vel

⇓

2ab/(a+b) ≤ √(ab)

a törtet ab-vel egyszerűsítve:

2/(1/a+1/b) ≤ √(ab)

Minden lépés azonos átalakítás (oda-vissza érvényes) volt,

a szorzás és osztás is pozitív mennyiségekkel történt, tehát nem változott az egyenlőtlenség iránya.

Ezért az is látszik, hogy

egyenlőség akkor csak akkor áll fenn, ha a=b, amint az a kiindulási egyenlőtlenségben nyilvánvaló.

Egyébként ha a tagok reciprokaira írjuk fel a számtani és mértani közép közötti összefüggést,

akkor abból is triviálisan következik.

Több tagra való bizonyítása lényegesen bonyolultabb, mindenképpen a „teljes indukció” módszere szükséges hozzá.