Ha két egymást metsző sík merőleges egy harmadik síkra, akkor a metszésvonaluk is merőleges a harmadik síkra, és miért, vagy miért nem?

Igen.

Azért, mert gondolj bele. :)

I. Induljunk ki az eset fordítottjából, ne a két sík határozza meg a metszésükből kapott egyenest, hanem az egyenesre állítsunk két síkot. A szemléltetés kedvéért képzelj el egy vízszintes asztallapot. Ha erre egy merőleges egyenest állítasz, akkor bármelyik olyan sík, ami tartalmazza az egyenest, merőleges lesz az asztallapra. Talán ez még különösebben nem szorul magyarázatra.

II. De tegyük fel, hogy az egyenes ez bizonyos szöget zár be az asztallal. Reprezentálja ezt az egyenest egy kellően hosszú, kellően vékony bot. Ha most ezt felülről, az asztallapra merőlegesen beeső párhuzamos fényforrással világítod meg, a botnak lesz egy árnyéka az asztallapon. Ha az asztallap ezen pontjain állsz, az egyenes onnan nézve merőlegesnek tűnik. (Matematikailag egy vetületről van szó.) Ergo ha az egyenes és a te külső (néző)pontod által meghatározott sík merőleges lesz az asztal síkjára. Ha bármilyen más pontból nézed az egyenest, az valamilyen szöget zár be az asztallal, így az egyenes és a nézőpontod által meghatározott sík is ilyen szöget fog bezárni az asztal síkjával.

III. Induljunk ki az I. esetből. Ott azért könnyen belátható, hogy ha mindkét sík merőleges az asztal síkjára, akkor a metszésvonaluk egyenese is az lesz. Ha most az egyik síkot bármilyen szöggel is megdöntöd, az a metszésvonal által bezárt szöget csökkenteni fogja. Ha most a másik síkot kezded el döntögetni, azt fogod látni, hogy ez minden esetben csökkenti a metszésvonal által bezárt szöget, soha nem növeli, így nem tudod az egyik sík dőlésszögét a másik sík eldöntésével kompenzálni, ergo ha mindkét síkot megdöntöd, a metszésvonal és az asztal által bezárt szög mindig kisebb lesz, mintha csak az egyik síkot döntötted volna meg. Ergo nem állhat elő az az eset, hogy az egyik sík megdöntése után a másik sík megdöntése korrigálná a metszésvonal dőlésszögét.

IV. megint induljunk ki az I. esetből. Most döntsük meg az egyik, vagy akár mindkettő síkot a merőlegeshez képest. Most nézzük ezt felülről, nagyon-nagyon távolról. Azt látjuk, hogy az egyik – vagy mindkét – sík nem egy egyenesnek látszik, hanem síknak. Így rajta minden egyenes egyenesnek és nem pontnak látszik, ergo árnyéka van, ergo valamilyen szöget zár be az asztallal.

Ergo ha egy síkra két merőleges síkot állítasz, amik nem esnek egybe és nem párhuzamosak, azaz van metszésvonaluk, akkor az szükségszerűen merőleges lesz az eredeti síkra. Ha egy síkra két olyan síkot állítasz, amelyek közül legalább egy nem merőleges az eredeti síkra, akkor a két új sík metszésvonala szükségszerűen nem lehet merőleges az eredeti síkra.

2-nek ne higyj, nem igaz hogy ha egy sík merőleges egy másikra, akkor minden egyenese az lesz.

- - - - -

Válasz: igen, a metszésvonaluk is az lesz.

Bizonyítás: szedj ki a metszésvonalból egy pontot, állíts belőle merőlegest a harmadik síkra, és ez lesz a metszésvonal, QED.