Nem Euklideszi geometriában az alábbi következtetésre mi alapján jutottak? És mikor háromszögekről beszél akkor azok vallójában görbe oldalú háromszögek. Tehát jó, hogy nem 180 fok lesz a belső szögek összege. Mi ebben a nagy felfedezés?

Az, hogy valami nem euklideszi geometria, nem egy konkrét geometriát jelöl, hanem sokat. Pl a projektív geometria se euklideszi meg a hiperbolikus se, mégis két teljesen különböző dologról van szó. A projektívban pl bármely két egyenes metszi egymást, a hiperbolikusban pedig nem.

A háromszögek nem görbe oldalúak. A hiperbolikus geometriában más Riemann-metrika szerint integrálunk, mint az euklidesziben. (pl (dx^2+dy^2)/y^2, de bármi hiperbolikus geometriát definiál, aminek negatív a görbülete.) Azok a vonalak, amiket te görbének látsz, a legrövidebb utak bármely két pontjuk között. Az adott metrika szerint 0 a görbületük.

Gauss még azelőtt élt, hogy axiomatizálták volna a matematikát, ezért ő még nem tudta a mai rendszerben megfogalmazni a gondolatait. Akkoriban az euklideszi geometriában az euklideszi axiómák segítségével dolgoztak. (Nagyjából ugyanezt Hilbert-axiómák néven is ismerheted, csak akkor még nem voltak így formalizálva. Hilbert egy kicsivel később élt.) Ebben ha kicseréled a párhuzamossági axiómát a kérdésedben szereplő állításra, akkor hiperbolikus geometriát kapsz. Hagyománytiszteletből vagy matematikatörténeti érdekességként él tovább ez a rendszer ma is.

Másszóval eredetileg ez nem eredménye volt a hiperbolikus geometriának, hanem a definíciójának a része.

Akkoriban ez azért is volt érdekes, mert azt hitték, hogy a pontok és egyenesek csak úgy tudnak viselkedni, ahogy az euklideszi síkon. A másféle geometriák léte rávilágított, hogy ez nem így van.

Abban tényleg semmi nagy felfedezés nincs, hogy mennyi a belső szögek összege, ha elmész egy hiperbolikusgeometria-órára, megkaphatod gyakorló házi feladatként. Azért lett ilyen felkapott állítás, mert nem kell hozzá matematikai műveltség, hogy megértsd. Ismeretterjesztő előadásokon bármilyen hallgatóságnak el lehet sütni.

#1, olyan modell nincs, amelyben pontosan az euklideszi sík egyeneseinek felelnének meg a hiperbolikus egyenesek. Ha lenne ilyen modell, akkor az "egymás nem metszése" tranzitív reláció lenne a hiperbolikus egyeneseken, pedig tudjuk, hogy nem az. A szögek rendben levésén nem tudom, mit értesz, az összes elterjedt modell konform. Mindegyikben 180 foknál kisebb a belső szögek összege és ez így van rendben.

Euklidész korában még valóban azt jelentette a matematikában az axióma, mint amire te gondolsz. Nem tudni, miért igaz, de hát úgy érzésből látni rajta. Mikor az ókori matematikusok az euklideszi síkot vizsgálták, valóban azt "tapasztalták", hogy a párhuzamossági axióma igaz. Még egy csomó mindent "tapasztaltak" igaznak, pl bármely két ponton át megy pontosan egy egyenes. Nem tudták, ezek milyen okozati összefüggésben vannak egymással, de az emberiség nagyon-nagyon sokáig azt gondolta, ha valamire elég sok minden igaz az így érzésből összehordott állításokból, akkor az összes igaz. Miért? Csak. Mert nehogy már ne. Látni rajta.

A hiperbolikus sík erre ellenpélda. Minden igaz rá, kivéve a párhuzamosságit.

Ezt ma nem úgy fogalmaznánk meg, hogy azt tapasztaljuk, hogy az euklideszi sík ilyen meg olyan, hanem úgy, hogy azt tapasztaljuk, hogy az euklideszi sík absztrakt fogalma jó modellje a való világ ennek meg ennek a részének.

Ma már nem azt jelenti a matematikában az axióma, mint régen. Mikor ma azt mondja egy matematikus, hogy pl létezik a hiperbolikus sík, akkor ez nem azt jelenti, hogy úgy létezik, mint egy zsák krumpli, hanem azt, hogy a halmazelméleti axiómákból következik az euklideszi sík léte. Az axióma se azért igaz, mert mond valamit a világról, hanem mert levezethető az axiómákból (nyilván következik saját magából). Egy matematikai állítás már soha nem a világról mond dolgokat, mindig csak állítások logikai kapcsolatáról. Ugyanígy már nem úgy gondolunk matematikai objektumokra, mint amik vannak a világban és mi megismerjük a tulajdonságaikat, hanem úgy, mint amiket a tulajdonságaik definiálnak (hívnak életre).

Abban a párszáz évben, mikor még nem volt axiomatizálva a matematika, de már képes volt az emberiség (egy része) absztrakt struktúrákban gondolkodni, tehát amikor a hiperbolikus síkot először leírták, az euklideszi síkra úgy néztek, mint az euklideszi axiómák által definiált valamire. Nem a sík van előbb, és arra igazak az axiómák, hanem az axiómák vannak előbb, azok konstruálják a síkot. Mit kapnánk vajon eredményül, ha egy kicsit változtatunk az axiómákon? Elveszünk belőle? Hozzáteszünk? Valamit kicserélünk?

Megtörténhetne, hogy akkor egy olyan valamit kapunk, amire két ellentétes dolognak is igaznak kell lennie. Pl igaz rá, hogy minden egyenesen végtelen sok pont van meg az is igaz rá, hogy minden egyenesen csak 5. Ilyen valami nem létezhet, mert az 5 nem végtelen. Gauss előtt az emberek azt várták, hogy ha kicserélünk egy euklideszi axiómát valami másra, akkor valami ilyesmi probléma fog előállni.

De nem ez történt. Az történt, hogy úgy találták, hogy ha az euklideszi axiómákban nincs ilyen ellentmodás, akkor a hiperbolikusban se tud lenni.

> Ma már nem azt jelenti a matematikában az axióma, mint régen. Mikor ma azt mondja egy matematikus, hogy pl létezik a hiperbolikus sík, akkor ez nem azt jelenti, hogy úgy létezik, mint egy zsák krumpli, hanem azt, hogy a halmazelméleti axiómákból következik az euklideszi sík léte.

Éppen ezért volt annyira meglepő Bolyai eredménye -- az akkori világképben ez még azt jelentette, hogy nem _fizikai_ törvény a párhuzamossági axióma, hanem lehet hogy ki lehet mérni az ellenkezőjét.

Illetve akkor még a hiperbolikus egyenest "egyenes egyenesnek" képzelték. Fizikailag egyenesnek. (A gömbi egyenesre például az ember hajlamos úgy gondolni, mint ami görbe.)

És meglepődtek azon, hogy a világunkban, egy papírlapra "egyenes egyeneseket" rajzolva sem biztos hogy a szögek összege 180 fok.

Azóta Einstein letisztázta hogy mit jelent az, hogy a világban egy egyenes "egyenes", illetve találtunk modelleket a hiperbolikus síkra (Bolyai idejében nem igazán volt), szóval fogalmilag már elég messze vagyunk az akkori gondolatoktól. Ők csak belülről gondolhattak a geometriára és nagyrészt ugyanolyannak képzelték mint az euklideszit, mi meg főleg kívülről gondolunk rá (vagy aki ahogy).

A hiperbolikus egyenes definíció szerint egy olyan görbe(nek a képe), amely bármely két pontja között a legrövidebb úttal esik egybe.

Bolyai nem cserélt ki semmit, ezt csak azért mondják, mert magyar volt és valóban foglalkozott hiperbolikus geometriával. Nem ő alkotta.

Azért legalább 2, mert az euklideszi geometriában pontosan 1. Ha valami 1-nél több és egész szám, akkor legalább 2.

A matek nem úgy működik, hogy egy-egy témára be tudsz kapcsolódni. Nagyon fontos, hogy értsd az alapokat. Nincs olyan könyv, ami alapok nélkül bármi értelmeset mondana neked a hiperbolikus geometriáról. Vagy megmaradsz az ismeretterjesztő irodalomnál és mindenféle érdekességekről olvasol, pl mint a hiperbolikus háromszög belső szögei, vagy bepótolod, ami hiányzik. A hiperbolikus geometria tipikusan egy negyed- vagy ötödéves kurzus a legtöbb egyetemen, de ha te csak azt akarod tanulni, ami közvetlenül szükséges ahhoz, hogy megértsd az alapjait, akkor sokkal kevesebb időbe is belefér. Egyáltalán nem lehetetlen akkor se, ha még soha nem tanultál matekot, csak az időt kell rászánni.

Ha az alapok már megvannak, akkor jó könyv Ratcliffe-től a Foundations of Hyperbolic Manifolds. A lehetőségekhez képest igyekszik minél kevesebb előismeretet feltételezni. (Emiatt néhol feleslegesen macerás és számolós, de hát valamit valamiért.) Ha a matek részét most még nem is érted, ha jól emlékszem, van benne történeti összefoglaló is egy csomó hivatkozással az eredeti munkákra, szóval vissza tudod keresni belőle, ki mikor mit írt.

Megkerestem neked, erre gondolok:

[link]

Hú, ez nagyon ijesztő lett :|

Alapvetően nem kell hozzá 3-4 félév egyetemi matematika, a legtöbb mű bátran ajánlható középiskolásoknak.

Bár meglepő hogy egy sincs direkt nekik ajánlva. A középiskolai szakköri füzetek sorozatnak például van Komplex számos geometriás, Projektív geometriás és Kúpszeletes száma is. Bolyai geometriás épp nincs :/

Nincs előttem, de emlékeim szerint a

> Kálmán Attila: Nemeuklideszi geometriák elemei

nagyon alap szinten tárgyalja a kérdéskört, sok filozófiai gondolattal is vegyítve, leginkább belülről, és nem modellen keresztül vizsgálva a geometriákat.

Már majdnem jóra gondolsz. Régen axióma VOLT, ma már nem az. Ma már az egész matematikának közös axiómái vannak, ezek a régiek a mai rendszerben definíciónak számítanak. Igazából alternatív definíciónak, mert ugyan ugyanazt az objektumot definiálja, mégse használjuk. (de történeti okokból juszt se akar kihalni)

A következményeket nem lehet csak így felsorolni. A matematika pont ezzel foglalkozik, hogy állítások következményeit keresi.

1) miért lenne két (különböző) metsző egyenes között (nemnulla) szög? Melyik axiómákból lehet ezt levezetni?

Hiperbolikus egyeneseknek lehet 0 a bezárt szöge.

2) miért metszené az egyenest, ha nemnulla a szög? Megint, melyik axiómák miatt?

Ez se igaz amúgy hiperbolikusban.

Az előző hozzászólásomban már elmagyaráztam, hogy az axióma nem úgy működik, hogy mond valami igazat a világról. Az 1+1=3-mal axiómaként nincs semmi baj. Te azért látod hibásnak, mert belehelyezed egy másik (a megszokott) axiómarendszerbe, amiben nem igaz.

Euklidész párhuzamossági axiómája az euklideszi axiómarendszer többi axiómájából nem bizonyítható. Független tőlük. A ma használt axiómarendszerben viszont bizonyítható, hogy az euklideszi síkon igaz a párhuzamossági axióma. (Különben ugye nem is hívnánk euklideszi síknak...)

Az utolsó próbálkozásod még az euklideszi geometriában se jó. Az, hogy az y=5 és az y=7 nem metszi egymast, csak azt bizonyítja, hogy az y=5-höz és az y=7-hez is létezik legalább egy párhuzamos egyenes.