Két egész szám hányadosaként előálló tizedes tört tizedesjegyei maximum hány tizedes jegy után fognak ismétlődni periodikusan az osztó és az osztandó méretének függvényében?

Ha a tört tovább nem egyszerűsíthető, akkor a szakaszok hossza legfeljebb a nevezőnél 1-gyel kisebb szám, például az 1/7 szakaszainak a hossza legfeljebb 6 lehet.

Ha az eredmény véges tizedestört, akkor azt kell megnézni, hogy melyik két tízhatvány közé esik a nevező, például az 1/125 esetén a 125 a 100 és az 1000 között van, tehát a tört értéke 1/100 és 1/1000 között van, 1/100=0,01, 1/1000=0,001, így 1/125 tizedesetört alakjában 2 vagy 3 a tizedesjegyek száma.

Talán emlékszel, hogyan végeztük az osztást általános iskolában papíron. Valahogy így:

[link]

Vegyük az 1:7-et:

I.

1-ben a 7 megvan 0-szor, maradt 1. Az osztás eredménye eddig: 0,

II.

A maradék 1-eshez hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami ugye 0 (1 = 1,000 000…).

10-ben a 7 megvan 1-szer, maradt 3. Azt osztás eredménye eddig: 0,1

III.

A maradék 3-ashoz hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami szintén 0.

30-ban a 7 megvan 4-szer, maradt 2. Azt osztás eredménye eddig: 0,14

IV.

A 2-eshez hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami szintén 0.

20-ban a 7 megvan 2-szer, maradt 6. Azt osztás eredménye eddig: 0,142

V.

A 6-oshoz hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami szintén 0.

60-ban a 7 megvan 8-szor, maradt 4. Azt osztás eredménye eddig: 0,1428

VI.

A 4-eshez hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami szintén 0.

40-ben a 7 megvan 5-ször, maradt 5. Azt osztás eredménye eddig: 0,14285

VII.

Az 5-öshöz hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami szintén 0.

50-ben a 7 megvan 7-szer, maradt 1. Azt osztás eredménye eddig: 0,142857

Hoppá. 1 maradt a végén. Innentől úgy folytatódik az osztás, mint a II. pontnál, ugyanúgy sorra 1,4,2,8,5,7 lesz az egészosztás eredménye, a maradék meg ugyanúgy sorra 3,2,6,4,5,1 lesz.

Innen belátható, hogy ha az osztás során a maradék az lesz, ami ami már egyszer volt, az egész osztás művelete ugyanúgy folytatódik tovább, ugyanazok a számjegyek és maradékok fognak újra és újra ismétlődni.

~ ~ ~

Vegyük pl. a 3/8-ad esetét:

I.

3-ban a 8 megvan 0-szor, maradt 3. Azt osztás eredménye eddig: 0,

II.

A 3-ashoz hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami 0.

30-ban a 8 megvan 3-szor, maradt 6. Azt osztás eredménye eddig: 0,3

III.

A 6-oshoz hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami 0.

60-ban a 8 megvan 7-szer, maradt 4. Azt osztás eredménye eddig: 0,37

IV.

A 4-eshez hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami 0.

40-ben a 8 megvan 5-ször, maradt 0. Azt osztás eredménye eddig: 0,375

Itt tulajdonképpen véget is ért az osztás, de nézzük tovább, mi történne, ha következetesen folytatnánk a módszert:

V.

A 0-hoz hozzávehetjük a következő tizede jegyet, ami 0.

00-ban – azaz 0-ban – a 8 megvan 0-szor, maradt 0. Az osztás eredménye így alakul: 0,3750

Innen az V. eset ismétlődik újra és újra, az osztás eredménye: 0,375 000 000 000 …

Ha tehát az osztások során egyszer 0 lesz a maradék, akkor onnantól a 0 fog ismétlődni egészosztás eredményként és maradékként is.

~ ~ ~

Vegyük pl. a 8/27-et:

I.

8-ban a 27 megvan 0-szor, maradt 8. Az osztás eredménye eddig: 0,

II.

A 8-ashoz hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami 0.

80-ban a 27 megvan 2-szer, maradt 26. Azt osztás eredménye eddig: 0,2

III.

A 26-hoz hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami 0.

260-ban a 27 megvan 9-szer, maradt 17. Az osztás eredménye eddig: 0,29

IV.

A 17-hez hozzávesszük a következő tizedes jegyet, ami 0.

170-ben a 27 megvan 6-szor, maradt 8. Az osztás eredménye eddig: 0,296

De 8-as maradt maradékul, ami egyszer – a II. esetnél – már előfordult, így a II, III, IV-es eset fog körbe-körbe járni ismét, az osztás eredménye 0,296 296 296 296…, a maradékok meg rendre 26, 17, 8, 26, 17, 8, … lesznek.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

A fentiekből következik, hogy egy végtelen szakaszos tizedes tört ismétlődő számjegyeinek hossza lehet 1, 2, 3, stb… A véges szakaszos tizedes tört esetén gyakorlatilag a 0 fog ismétlődni, kvázi egy olyan végtelen szakaszos tizedes tört lesz, ahol 1 számjegy ismétlődik, ami a 0.

Az ismétlődő szakasz hossza akkor lesz maximális, ha az osztó összes 0-tól különböző maradéka előfordul egyszer. 7 esetén ilyenből 6 darab van: 1,2,3,4,5,6. (Ha a nulla is előfordulna, véges tizedes törtet kapnánk.) Általánosítva n – mint osztó – esetén ilyenből n-1 van. Tehát egy m/n alakú törtnél maximálisan n-1 számjegy hosszúságú szakasz lesz, ami ismétlődni fog.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Az osztandó mértéke csak speciális esetekben számít. Pl. ha az osztandó az osztó egész számú többszöröse, akkor nyilván egész szám lesz az eredmény is, így véges tizedes törtet kapunk. Ha a osztandó 10-szeres, 100-szorosa az osztó egész számú többszöröse, akkor nyilvánvaló, hogy 1, illetve 2 tizedes jegy lesz a tizedesvessző után.

Illetve annyiból számít még, hogy ha az osztó és az osztandó nem relatív prímek, azaz van közös osztójuk, akkor a tört egyszerűsíthető lesz. Pl. 12/14-ed egyszerűsíthető 6/7-re, a kettő eredménye azonos, így az ismétlődő szakasz hossza is maximum 6 lehet. Előbb tehát érdemes egyszerűsíteni a törtet, ami vagy úgy történik, hogy prímtényezőkre bontod, és megkeresed a közös prímtényezőket, és azokkal a kisebb multiplicitású hatványával egyszerűsítesz. Nagyobb számok esetén ez az út túl számításigényes, de ott sincs gond, mert egyszerűsíteni mindig a legnagyobb közös osztóval kell, azt meg meg lehet találni euklideszi algoritmussal, anélkül, hogy prímtényezőkre kellene bontani a két számot, így sokkal kisebb számítási időt igényel.

Illetve ha a törtet vegyes törtté alakítod, az egész rész ugye nem számít a tizedesvessző utáni számjegyek szempontjából. Pl. 412 / 22 = 18 + 16/22, egyszerűsítve a tört részt: 412 / 22 = 18 + 8/11. A 412/22 tizedes tört alakjában a tizedesvessző utáni rész ugyanaz, mint a 8/11 esetén:

412 / 22 = 18,72727272…

8 / 11 = 0,72727272…

(Tulajdonképpen ennek a speciális esete, mikor a osztandó maradék nélkül osztható az osztóval, mert ezt vegyes törtté alakítva ezt kapod: 21/7 = 3 + 0/7, így a 21/7 tizedesvessző utáni része ugyanaz, mint a 0/7-nek, ami ugye nullák végtelen sora lenne.)

Maximum végtelen. De minden konkrét esetben véges.

Két egész szám hányadosa egy tört. A nevező tetszőleges. A prímszámok nem korlátosak, azaz bármilyen nagyot veszel, bizonyítható, hogy van annál is nagyobb.

Ha pedig egy olyan törtet tekintesz, aminek a nevezője prím, akkor az pontosan p-1 tizedesjegy után fog ismétlődni (ugyanis ennyiféle maradék lehet). Ha egy másik törtben a p az előbbinél nagyobb, akkor a szakasz hossza is nagyobb. Azonban mivel a prím bármilyen nagy lehet, így a szakasz hossza is.

> Ha pedig egy olyan törtet tekintesz, aminek a nevezője prím, akkor az pontosan p-1 tizedesjegy után fog ismétlődni (ugyanis ennyiféle maradék lehet).

Ez így ebben a formában nem igaz. Pl. az 5 prím. De bármilyen egész számot osztasz öttel, véges tizedes törtet kapsz, maximum egy tizedesvessző utáni számjeggyel. 3-al osztva bármelyik egész számot, pontosan egy tizedesjegy fog ismétlődni (és nem kettő). Ha 11-el osztva egy számot vagy egészet kapsz, vagy végtelen szakaszos tizedes törtet, de az ismétlődő szakasz hossza mindig kettő lesz (és nem 10).

Itt az adott szám és a 10, mint a számrendszerünk alapszámának kapcsolata dönti el, hogy milyen hosszú lesz az ismétlődő szakasz hossza. Zárt képlet erre nincs, de algoritmus van, ami alapján ki lehet számolni.

~ ~ ~

Itt egy lista: [link]

(Lásd még: [link] )

Minden sorban az első szám „n”, a második szám az ismétlődő számjegyek száma egy olyan p/n alakú törtnél, ahol „p” és „n” legnagyobb közös osztója 1. (Máshogy megfogalmazva „p” és „n” relatív prímek, máshogy megfogalmazva p/n nem egyszerűsíthető.)

A p-1-et valóban elkapkodtam. Kicsit régen volt a kongruencia, és azt hittem, elég egy röpke gondolat. Nem elég.

Az eredeti kérdésben azonban a hangsúly a "maximum" szón van.

És az említett relatív prím tulajdonság, valamint az a tény, hogy a prímek nem korlátosak, generálja azt a választ, hogy a maximum végtelen. Vagyis a maximum nem korlátos.