Pályakezdőként közmunkán dolgoztam ettől még igényel hetek startkártyát?

Nem.

"1. START kártya igénylésére jogosult, aki:

a 25. életévét, felsőfokú végzettségű személy esetén a 30. életévét még nem töltötte be,

tanulmányait befejezte, vagy megszakította, és

tanulmányainak befejezését követően első ízben létesít foglalkoztatásra irányuló jogviszonyt, vagy ösztöndíjas foglalkoztatási jogviszonyt, és e jogviszony létesítését megelőzően megbízási, vállalkozási szerződés alapján, vagy egyéni vállalkozóként sem végzett munkát.

Az első ízben létesített foglalkoztatási jogviszony megítélése szempontjából figyelmen kívül kell hagyni a tanulói és a hallgatói jogviszony mellett fennálló, és az iskolai szünet időtartama alatt létesített foglalkoztatásra irányuló jogviszonyokat, továbbá a tanulói és a hallgatói jogviszony megszűnése után az alkalmi munkavállalói könyvvel, továbbá a 2010. április 1-jét követően az egyszerűsített foglalkoztatás körébe tartozó alkalmi munkára létesített jogviszonyt."

[link]

A közmunka is foglalkoztatásra irányuló jogviszony volt, emiatt már az ez után létesített munkaviszony nem az első munkaviszonyod startkártya szempontjából. (kicseszés, de ez van)