Ha egy kétjegyű szám számjegyet felcseréljük, akkor az eredetihez képest feleakkora számot kapunk. Az egyik számjegy kétszerese a másiknak. Melyik ez a szám?

Egy kétjegyű szám felírható a két számjegy segítségével:

"ab" = 10a + b

Pl.:

"57" = 10*5 + 7

Így nyilván a fordítottja is felírható:

"ba" = 10b + a

Pl.:

"75" = 10*7 + 5

(Az idézőjeles jelölés nem elfogadott, jobb híján használom a felülvonás helyett.)

~ ~ ~

Tehát:

> egy kétjegyű szám

"ab" = 10a + b

1 ≤ a ≤ 9

0 ≤ b ≤ 9

> számjegyet felcseréljük

"ba" = 10b + a

> akkor az eredetihez képest feleakkora számot kapunk

"ba" = "ab" / 2

10b + a = (10a + b) / 2

2 * (10b + a) = 10a + b

20b + 2a = 10a + b

19b = 8a

És itt már gondban vagyunk. Ugyanis, ha „b” egész, akkor a „19b” is egész és maradék nélkül osztható 19-cel. Mivel „a” is egész, ezért „8a” is egész, és mivel az egyenlet két oldala ugyanazt az értéket kell, hogy jelentse, így a „8a”-nak is oszthatónak kell lennie 19-cel. De mivel „1 ≤ a ≤9", így nincs olyan egész „a” ebben az intervallumban, ami osztható lenne maradék nélkül 19-cel.

> Az egyik számjegy kétszerese a másiknak

Akkor vagy:

1. eset

2a = b

Behelyettesítve az előző levezetésbe:

19b = 8a

19*(2a) = 8a

38a = 8a

Ami csak akkor lehetne igaz, ha „a=0”, de akkor az eredeti szám szűken értelmezve nem tekinthető kétjegyűnek.

2. eset

a = 2b

b = a/2

Behelyettesítve az előző levezetésbe:

19b = 8a

19*(a/2) = 8a

19/2 * a = 8a

19a = 16a

Ez is csak akkor lehetne igaz, ha „a=0”.

~ ~ ~

Tehát nincs ilyen kétjegyű szám. Illetve ha nagyon-nagyon megengedőek vagyunk, akkor ez a szám a 00.

Hiszen a 00 megfordítva 00, márpedig 0/2=0, tehát 00 fele akkora, mint a 00. Ráadásul az egyik számjegy – a nulla – a másik számjegynek – a nullának – a kétszerese.

De kétjegyű szám általában az olyan számokat értjük, aminek az első számjegyen nem nulla, azaz minimum két számjegy kell a leírásukhoz. Máshogy fogalmazva egy kétjegyű számra igaz, hogy:

10 ≤ x ≤ 99

Talán kicsit egyszerűbben:

Egy kétjegyű szám általános alakja 10a+b, ahol a tíznél kisebb pozitív egész és b tíznél kisebb természetes szám. A jegyek felcserélésével kapott szám: 10b+a.

A feltétel szerint

(10a+b)/(10b+a)=2

10a+b=20b+2a

8a=19b (1)

Innen látszik, hogy b osztható 8-cal, azaz b = 0 vagy b=8.

Ha b=0, akkor (1) szerint a= 0, ez nem lehet.

Ha b=8, akkor (1) szerint a=19, ez sem lehet.