Hogyan lehet elmagyarázni a függvény fogalmát?

Bedobod a darálógépbe a húst. A darálógép ledarálja és a kimenő nyílásán kidobja a ledarált húst.

Bedobás: input.

Darálógép: függvény.

Kimenő nyílás: output.

Ezek tekintetében:

Input: hús.

Függvény: darálás.

Output: ledarált hús.

Őszintén szólva én mindig utáltam ezt a gépes analógiát. Pont azért, mert egy gép akármilyen módon tud eredmény kiadni, csak attól függ, hogy hogyan van beállítva.

Vegyünk egy életszerű példát; elmész egy pékségbe, és ez a párbeszéd zajlik le:

-Jó napot! Mennyibe kerül egy darab zsemle?

-20 forintba.

Gyakorlatilag a hozzárendelésnél nem történik más, mint egy kérdést teszünk fel, amire kapunk egy választ, ahogyan az előbb is láthattad. A hozzárendelés mindig két halmazzal dolgozik; az egyik halmaz azokat tartalmazza, amiket kérdezhetünk, ezt hívjuk őshalmaznak, függvények esetén értelmezési tartománynak, a másik halmazból pedig a választ kapjuk, ezt hívjuk képhalmaznak, függvények esetén értékkészletnek.

Tehát a kérdésedre a válasz: függvény nem létezhet értelmezési tartomány és értékkészlet nélkül, így két lehetőség van; vagy alapból úgy alkotjuk meg a függvényt, hogy ismerjük az értelmezési tartományt és az értékkészletet, vagy a függvény jellegéből derülnek ezek ki, ez utóbbi kategóriába az x|->kifejezés alakú hozzárendelések tartoznak.

De maradjunk egy kicsit a pékségben. Belépve találsz egy árlistát:

Kifli.........................15 forint

Zsemle........................20 forint

Kenyér........................200 forint

Kalács........................350 forint

Most az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy csak ezt a négy dolgot árulják a pékségben. Szépen elkülöníthető a két halmaz; az egyikben a pékáruk vannak, a másodikban árak. Persze felvetődhet a kérdés, hogy akkor itt most melyik az értelmezési tartomány és melyik az értékkészlet, erre az a válasz, hogy attól függ, hogy mit kérdezünk!

Ha azt kérdezzük, hogy mennyibe kerül az x pékáru, akkor azt mondhatjuk, hogy a kérdés alapján a mennyibekerül(x) függvényt kapjuk, ahol x helyére a pékárukat írhatjuk, eredményül pedig az x pékáru értékét kapjuk, például

mennyibekerül(Kalács)=350 forint.

Tehát ebben az esetben az értelmezési tartományt a pékáruk alkotják, az értékkészletet pedig az árak. Ha viszont az a kérdés, hogy mit tudunk venni (pontosan) x összegből, akkor a mivehető(x) függvényt kapjuk, ahol x helyére az árakat lehet írni, és értékül egy pékárut kell kapnunk, például

mivehető(15 forint)=Kifli.

Ha x helyére olyat írunk, ami az értelmezési tartományban nincs benne, akkor nem kapunk eredményt. Például

mennyibekerül(oroszlán)

függvényérték nem definiált, mivel a pékség nem árul oroszlánt. Ezért fontos a függvény értelmezési tartományát és értékkészletét meghatározni.

Maradva a vásárlós analógiánál; vegyünk egy számboltot, ahol valós számokat lehet venni. Az árlistán csak ez szerepel: x|->3*|x|+2. Ez azt jelenti, hogy az x számért 3*|x|+2 forintot kell fizetni, például egy 5-ösért 3*|5|+2=3*5+2=17 forintot kérnek, egy (-6)-os számért pedig 3*|-6|+2=3*6+2=20 forintot.

Ahogy láthatjuk, hogy minden valós szám értéke megkapható a szabály alapján, emiatt x helyére bármilyen valós szám írható, emiatt az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. Az értékkészletet további vizsglattal tudhatjuk meg; azt vehetjük észre, hogy ebben a boltban a legolcsóbb szám a 0, ezért ebben a boltban 3*|0|+2=3*0+2=2 forintot kérnek, a többi szám ennél csak drágább lehet, de bármilyen értéket felvehet, ezért azt mondhatjuk, hogy az értékkészlet a 2-nél (forintál) nagyobb árak halmaza.

"függvény valami változás."

Vannak olyan függvények, amik valamilyen változást írnak le, ez így van. De ez nem minden függvényre igaz, mint ahogyan a pékes példa is mutatja. Alapvetően a függvények nem szólnak másról, mint "valamilyen szabály szerint" párosítanak dolgokat. A párosítás nem a legjobb szó erre, mert például ha a 2-es számnak a párja a 3-as szám, akkor fordítva nem biztos, hogy így lesz. Ezért a párosítás helyett a hozzárendelés szót használják.

A te példádra ugyanaz ráhúzható, amit elmondtam; a t|->3*t azt mondja meg, hogy a t-edik másodpercben milyen messze van az a mozgó tárgy. Például ha azt kérdezed, hogy "Milyen messze lesz a tárgy az 5. másodpercben?", akkor erre az összefüggés alapján azt a választ kapod, hogy 3*5=15-re (hogy mi a mértékegység, vagyis, hogy méter, kilométer, yard, mérföld, stb., az attól függ, hogy az értékkészlet hogyan, vagyis milyen mértékegységgel lett megadva).

"Sejtésem szerint V=s*t értekkészlete 0tól a végtelenig, értelmezési tartománya a valós számok halmaza."

Itt nagyon kevered a dolgokat.

Először is, a v=s*t ebben a formában egy úgynevezett többváltozós függvény, ahol az értelmezési tartományból írunk az s és t betűk helyére számokat, és az értékkészlet számaiból írunk v helyére. Másrészt helyesen v=s/t, már ha sebességet akarsz számolni.

Sokkal jobban jársz egyébként, hogyha a fizikai függvényekkel majd csak azután foglalkozol, hogy a függvényt, mint fogalmat megértetted. Azon belül is az egyváltozós függvényekkel foglalkozz, és ha azt már érted, akkor lehet a többváltozósakkal foglalkozni.

Ebben a megközelítésben igen.

Azonban lehet egy darálógép(x) egy olyan függvény, melynek értelmezési tartománya a {hús}, értékkészlete a {darált hús}, így pedig darálógép(hús)=darált hús.