Hogy lehet azt belátni, hogy a Cauchy függvényegyenletnek csak f (x) =ax a megoldása? (f folytonos valós)

> „Az egésznek a levezetését azt értem.”

Ez azt jelenti, hogy érted, miért csak az f(q) = c*q alakú megoldások jönnek szóba a racionális számok felett?

[link]

Ha ez megvan, akkor a folytonos megoldások keresésénél egyszerűen a folytonosságot kell kihasználni. Tudjuk, hogy f(q) = c*q minden racionális számra, legyen x egy tetszőleges valós szám, amit írhatunk

x = lim qn

alakban (a limitnél mindig n tart a végtelenbe). Szóval bármilyen x valós számra

f(x) = f(lim qn).

Mivel f folytonos, használhatjuk az átviteli elvet:

f(lim qn) = lim f(qn).

Itt a jobb oldalon az f(qn) egy racionális helyen felvett függvényérték, amiről tudjuk, hogy c*qn az értéke, ezt beírhatjuk:

lim f(qn) = lim c*qn,

a határérték tulajdonságai miatt a c-t kiemelhetjük:

lim c*qn = c*lim qn,

a lim qn pedig éppen az x, tehát

f(x) = c*lim qn = c*x

alakú kell legyen, ha az f folytonos. Más megoldás nincs.