Mi lesz ennek a sorozatnak a határértéke?

Az ilyen feladatoknál az a trükk, hogy úgy kell alakítani, hogy az (1+1/k)^k alak megjelenjen, mivel tudjuk, hogy ez e-hez tart.

(6n-2/6n-1)^n^2/2

Végezzük el az osztást:

(1 - 1/(6n-1))^n^2 / 2

A negatív előjelet vigyük be a nevezőbe:

(1 + 1/(-6n+1))^n^2 / 2

Most úgy kellene sakkozni, hogy a -6n+1 megjelenjen a kitevőben. Ezt úgy tudjuk megtenni, hogy az n^2-et ennyivel bővítjük:

(1 + 1/(-6n+1))^(n^2*(-6n+1)/(-6n+1)) / 2

Most használjuk a hatványozás azonosságait:

[(1 + 1/(-6n+1))^(-6n+1)]^(n^2/(-6n+1)) / 2

A szögletes zárójelbeni rész pont (1+1/k)^k alakú, tehát ez e-hez tart. Most a kitevőt kell megnézni, az ránézésre -végtelenhez, tehát e^(-végtelen) alakú határértékünk van, ami így 0-hoz fog tartani.

Ha -végtelenbe tartatjuk az n-et, akkor tudunk egy olyat csinálni, hogy

lim a(n)

n->-végtelen

=

lim a(-n)

n->végtelen,

tehát az n-eket kicseréljük (-n)-ekre, és az így kapott sorozatban n-t végtelenhez tartatjuk.