2019+2 a 2020 adikon négyzetszám-e?

Érdemes megnézni, hogy mi az utolsó számjegy.

A kettő hatványainak utolsó számjegye: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, ...

Látható, hogy a 2, 4, 8 és 6 végződések ismétlődnek, így 2^2020 utolsó számjegyének meghatározásához a 2020 4-gyel való osztási maradékára van szükség, ami 0. Így 2^2020 ugyanarra a számjegyre végződik, mint 2^4, azaz 6-ra. Tehát 2019+2^2020 utolsó számjegye 5. Négyzetszám végződhet 5-re, így ezzel még nem bizonyítottunk semmit. Viszont 5-re végződő négyzetszám csak 5-re végződő számnak lehet négyzete. Az 5-re végződő számok négyzete pedig 25-re végződik. Így érdemes megnézni, hogy mi az utolsó előtti számjegy, ugyanis, ha nem 2, akkor kész vagyunk, nem lehet négyzetszám.

Ehhez nézzük meg a 2^4, 2^8, 2^12, 2^16, stb számok utolsó előtti számjegyét (az utolsó számjegy 6, ahogy azt korábban már láttuk). Itt is észrevehetjük, hogy egy idő után ismétlődni fognak a végződések és végül az fog kijönni ()ezt most nem részletezem), hogy 2^2020 utolsó két számjegye 76, azaz 2019+2^2020 utolsó két számjegye 95, így nem lehet négyzetszám.

Vagy:

A 2 hatványok utolsó két számjegye:

02 04 08 16 32 64 28 56 12 24

48 96 92 84 68 36 72 44 88 75

A 2^20 utolsó két számjegye: 76.

2019+2^20 utolsó két számlegye:97.

A szám osztható 5-tel, de nem osztható 25-tel, így nem négyzetszám.

75 helyett 76

97 helyett 95

A többi jó,