Sos, Bizonyítsuk be hogy az egyenlő szárú háromszög szárának és alapjának összege nagyobb a háromszög kerületének felénél de kisebb a kerület háromnegyedénél?

Háromfelé kell szedni a bizonyítást;

1. Mindhárom oldal egyenlő, vagyis a=a=a, ekkor

(a+a+a)/2 < a+a < 3(a+a+a)/4, rendezés után

6a < 8a < 9a, ami értelemszerűen igaz.

2. Az alap kisebb a száraknál, tehát a<b, ekkor

(a+b+b)/2 < a+b < 3(a+b+b)/4, rendezés után

2a+4b < 4a+4b < 3a+6b, nézzük oldalanként az egyenlőtlenséget;

1) 2a+4b < 4a+4b, kivonás után 0 < 2a, ami igaz

2) 4a+4b < 3a+6b, kivonás után a < 2b. A feltevés a<b volt, ennek az a<2b eleget tesz.

3. Az alap nagyobb a száraknál, vagyis a>b, viszont itt egy plusz feltételt meg kell szabnunk, ugyanis a háromszög-egyenlőtlenségnek is igaznak kell lennie, vagyis b+b>a, tehát 2b>a, tehát a feltétel: b<a<2b

(a+b+b)/2 < a+b < 3(a+b+b)/4, ugyanazt írtuk fel, mint az előbb, így a végeredmány is nyilván ugyanaz lesz. Szerencsére az a<2b a b<a<2b feltételnek is megfelel.

Mivel más lehetőség nincs, ezért bizonyítottuk az állítást.