S=1+9+1+9+9+1+9+9+9+1+9+... osszeget amelyben az n-dik 1-es szam utan mindig n darab 9-es kovetkezik .Mennyivel egyenlo az S szam ,ha az osszegnek 2020 tagja van?

Kicsit hülye feladat, mert az utolsó 1-es után nem lesz elég 9-es, de mindegy.

Képezzünk egy új sorozatot: a1 = (1+9) = 10

a2 = (1+9+9) = 19

a3 = (1+9+9+9)= 28 és így tovább.

Na most látható, hogyan is áll elő az an soroaztunk, azt is lehet látni, hogy a1 egy 2 tagú, a2 3 tagú, a3 4 tagú stb összeg.

Az első n természetes szám összege: 1+2+3+...+(n-1)+n = n(n+1)/2.

Tehát: 2+3+4+...+(n-1)+n = [n(n+1)/2] -1.

Meg kell oldani ezt: [n(n+1)/2] -1 = 2020. (n nem egész lesz)

n1= -64,0786 <---ez nem kell. n2 = 63,0786.

[n2] = 63. (egész rész).

Ezekből adódik, hogy S = a1+a2+...+a62 + X.

Számoljuk ki X-et: Az an sorozat hány tagot is vesz el az S-ből?

63*64/2 -1-et: 2015-öt. Ebből jön, hogy X = 1+9+9+9+9 = 37.

Már csak a maradékot kell kiszámolni, de mivel an számtani sorozat, így könnyű: n*(2*a1+(n-1)*d)/2 = 62(2*10+61*9)/2 = 17639.

Tehát S = 17639+37 = 17676.