Weboldalunk cookie-kat használhat, hogy megjegyezze a belépési adatokat, egyedi beállításokat, továbbá statisztikai célokra és hogy a személyes érdeklődéshez igazítsa hirdetéseit. További információ
Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Milyen alakzatot alkotnak...

Milyen alakzatot alkotnak azok a z pontok a komplex számsíkon, melyekre teljesül, hogy (z − i)i/(z − 1) negatív valós szám?

Figyelt kérdés

Nem tudok nekikezdeni, de a megoldás egy félkör, ha minden igaz.


Valaki tudna ebben segíteni? Előre is köszönöm!



2020. okt. 26. 20:55
 1/6 anonim ***** válasza:
62%

Osszuk el a kifejezést i-vel, ezzel kapjuk, hogy a (z-i)/(z-1) hányados az i-nek és egy pozitív valós számnak a szorzata (itt használtuk, hogy az i-nek a négyzete -1).

Koordinátarendszerben ábrázolva a feladatot (ahol az x-tengely a valós, y-tengely pedig a képzetes tengely), láthatjuk, hogy ez éppen azt fejezi ki, hogy a (z-i) vektort úgy kapjuk meg a (z-1) vektorból, hogy a (z-1)-et elforgatjuk pozitív irányba 90 fokkal (ez az i-vel való szorzás), majd egy pozitív számmal felnagyítjuk. Tehát a z számok mértani helyként annak a Thalész-körnek az egyik fele jön ki, aminek az átmérője az 1-et és az i-t összekötő szakasz (azért csak a fele, mert a forgatás után pozitív valós számmal szoroztunk).

2020. okt. 26. 21:48
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/6 A kérdező kommentje:
Bocsi, kicsit béna vagyok, az első mondatot le tudnád kicsit részletesebben írni? Hogy osztok le i-vel, ha a nevezőben nincs i?
2020. okt. 26. 21:59
 3/6 anonim ***** válasza:

Úgy értem, hogy ha valamilyen r pozitív valós számra teljesül, hogy


(z-i)i/(z-1) = -r, akkor innen i-vel való osztással az jön ki, hogy


(z-i)/(z-1) = r.

2020. okt. 26. 22:05
Hasznos számodra ez a válasz?
 4/6 anonim ***** válasza:

Bocs, elírtam, még egyszer:


ha valamilyen r pozitív valós számra teljesül, hogy



(z-i)i/(z-1) = -r, akkor innen i-vel való osztással az jön ki, hogy



(z-i)/(z-1) = ri, tehát egy pozitív valós szám i-szerese.

2020. okt. 26. 22:07
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/6 anonim ***** válasza:
100%

Minden ilyen feladatot érdemes úgy elkezdeni, hogy a z komplex számot felírjuk általános alakban, vagyis z=a+b*i, ahol a;b valós számok. Így a feladat:


(a+b*i − i)i/(a+b*i − 1) mikor lesz negatív valós. Először végezzük el a beszorzást:


(-b+a*i + 1)/(a+b*i - 1), rendezzük egy kicsit úgy őket, ahogy szoktuk:

(1-b + a*i)/(a-1 + b*i), ezt a törtet a (j+k)*(j-k)=j^2-k^2 méltán elhíresült azonosság alapján bővíteni fogjuk (a-1 - b*i)-vel. A bővítés nagy előnye, hogy a nevezőből kitakarodik az i, így csak valós lesz;


Számláló: (1-b + a*i)*(a-1 - b*i)=...=i*(a^2 - a + (b - 1)*b) + a + b - 1

Nevező: (a-1 + b*i)*(a-1 - b*i) = (a-1)^2-(b*i)^2 = (a-1)^2+b^2


Sokkal csúnyábbnak néz ki, de ez lesz a mi legjobb barátunk. Érthető okokból az (a-1)^2+b^2 értéke mindig pozitív lesz, (illetve z=1 esetén 0, szóval azt kizárjuk a buliból, mert akkor 0-val kellene osztani). Ez csak annyit jelent, hogy bármi is legyen a számláló, a nevezővel való osztás nem befolyásolja az eredmény előjelét, így ezzel nem is kell foglalkoznunk a továbbiakban.


Így tehát a kérdés csak az, hogy mikor lesz az


i*(a^2 - a + (b - 1)*b) + a + b - 1


rusnyaság negatív. Először is azt kell elérnünk, hogy egyáltalán valós legyen, ehhez az


a^2 - a + (b - 1)*b = 0


egyenletnek igaznak kell lennie. Ha emlékeink nem csalnak, akkor ez az egyenlet átalakítható olyan alakra, amit mi kör egyenletének szoktunk hívni;


a^2 - a + b^2 - b = 0


(a-1/2)^2 - 1/4 + (b-1/2)^2 - 1/4 = 0


(a-1/2)^2 + (b-1/2)^2 = 2/4 = 1/2


Tanulmányaink szerint ez egy kör, melynek középpontja a C(1/2;1/2) pont, sugara 1/gyök(2), vagy másként gyök(2)/2 nagyságú.


Most már a számunk valós. Már csak azt kell teljesítenünk, hogy negatív legyen, ehhez az


a+b-1 < 0


egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Rendezés után


a+b < 1


Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy vesszük a kört, behúzzuk az egyenest, és a megoldáshalmaz a körnek azon része, amely az egyenes alá esik. Mivel a kör középpontjának koordinátái rajta vannak az egyenesen, ezért az egyenes félbevágja a kört, tehát valóban egy félkör lesz a megoldás (pontosabban egy nyílt félkör, mivel a záró pontot levágja az egyenes).


Az ominózus félkör:


[link]


Namost, férfiasan bevallom, hogy én brute force módon nekiestem a feladnak, és nagyon rusnya algebrai megoldások jöttek ki végeredménynek, amikből ráadásul ki sem olvasható egykönnyen, hogy a keresett ponthalmaz valóban egy (fél)kör. Ennek megfelelően érdemes fejben tartani a kör és egyenes egyenleténél tanultakat, hogy jóval megkönnyítsük a saját életünket.

2020. okt. 27. 00:06
Hasznos számodra ez a válasz?
 6/6 A kérdező kommentje:
Nagyon-nagyon köszönöm!
2020. okt. 30. 10:14

Kapcsolódó kérdések:





Minden jog fenntartva © 2021, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info@gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!