Ezt hogyan kell értelmezni? (Matematika)

Az r egy konstans, bármilyen számot képzelhetsz a helyére.

Itt lényegében arról van szó, hogy valós számokhoz rendelünk pontpárokat, így adjuk meg egy görbe leírását: t --> (x,y).

Adok egy példát hátha megérted. Képzelj egy egy koordinátarendszert és az origo középpontú (most az egyszerűség kedvéért) 1 sugarú körnek a "felső" felét, tehát ami az x tengely felett van (az x tengelyen lévő pontokat is vegyük bele) Ezt szeretnénk egy függvénnyel leírni, úgy hogy a függvény f: R --> R^2 képez. Tehát különböző valós számokhoz rendeljük hozzá a körvonal pontjait.

Jelöljünk ki egy tetszőleges A=(x,y) pontot ezen a görbén. Vegyük az origoból A-ba mutató vektor (A helyvektora) és a (1,0) vektorok által bezárt szöget (Ha úgy tetszik A helyvektorának az x tengely pozitív felével bezárt szöget): Ez legyen alfa.

Ebből következik, hogy tetszőleges A=(x,y) esetén, ha vesszük ezt a hozzá tartozó alfa szöget, teljesül, hogy x = cos(alfa), y = sin(alfa).

Na most hogy mégis valós számokkal dolgozzunk, az alfát írjuk át radiánba, így majd alfa eleme [0,pí]. És lényegében meg is adtuk a hozzárendelést:

f: [0,pí] --> R^2; f(x) = (cos(x),sin(x)).

Lehet nem olyan egyszerű példa, de a lényeg annyi, hogy egy adott görbét nem f: R --> R leképezéssel írunk le, hanem f: R --> R^2.

Valós számoknak feleltetünk meg síkbeli pontpárokat.

Másik egyszerűbb példa: Az egyenes!

Legyen adva a következő egyenes: y = 2x+5.

Ugye ez leírható a következő f: R--> R függvénnyel: f(x) = 2x+5.

De tökéletes leírás az is, ha veszem a következő függvényt: f: R --> R^2

f(x) = (x,2x+5). Ugyanazt a görbét írtuk le.

Sőt!

Vegyük ezt a függvényt: f: R --> R^2, f(x) = (x/2, x+5). Ez ugyanazt az egyenest állítja elő úgymond.

Nem egészen.

Írok egy harmadik megközelítést is;

Azt tudjuk, hogy a koordináta-rendszer minden pontja jellemezhető egyértelműen két koordinátával, például a (3;4) pontot egyértelműen tudjuk jelölni. Szerencsére ez fordítva is igaz, tehát ha mutatok egy pontot, akkor annak egyértelműen megadhatóak a koordinátái, vagyis elmondható róla, hogy a tengelyektől milyen távolságra van, és hogy azokhoz képest melyik térfélen (pozitív, negatív, vagy a tengelyen). Persze ez csak elméletben működik jól, gyakorlatban csak nagyjából vagyunk erre képesek, de ez most mindegy.

Utána rájöttek, hogy a különböző hozzárendeléseket ha ábrázolják koordináta-rendszerben, akkor különféle görbéket lehet meghatározni; például az x|->x az origón átmenő, 1 meredekségű egyenes. Az is igaz, hogy a hozzárendelésben az ábrázolt pont első koordinátája az, amihez rendeltünk, vagyis ami a nyíl talpánál van, a második pedig az, amire mutat a nyíl. Általánosan az x|->y hozzárendelésnél az (x;y) pontot kell jelölni.

Most lépünk egy nagyot; az x|->f(x) hozzárendelésénél az x számhoz az f(x) függvény eredményét rendeltük. Az f(x) jellemzően valamilyen műveleti sor, melynek elvégzése adja az eredményt. Gondolom már ilyennel is találkoztál, úgyhogy nem ecsetelem.

Na, de most! Eddig mindig x-hez rendeltünk valamilyen formában számot. De megtehetjük azt is, hogy nem számhoz rendelünk, hanem műveleti sorhoz, vagyis függvényhez. Például:

3x+5 -> x*x, és persze x szerint kapjuk a számokat mindkét oldalra, tehát a koordináta-rendszerben a (3x+5 ; x*x) pontokat kellene jelölni.

Macerás lenne állandóan x szerint számolni, úgyhogy más, már korábban megszokott alakra kellene visszavezetni. Emiatt tegyük azt meg, hogy a 3x+5-öt lecseréljük valami t-re, tehát t=3x+5, és ezt x-re rendezzük: x=(t-5)/3, ezzel ez a hozzárendelés születik:

t|->((t-5)/3)^2

Így már nem kell mindkét oldallal számolni, csak a jobb oldallal, vagyis a (t ; ((t-5)/3)^2 ) pontokat kell jelölni. Ebben a felállásban

X = t

Y = ((t-5)/3)^2 (direkt írtam nagy betűvel, ezzel szemléltetve, hogy jelen esetben a két x nem ugyanaz).

Aztán rájöttek, hogy bizonyos görbék csak ezzel az úgynevezett parametrizált felírással írhatóak fel, függvényalakban nem, ezért ezt is elkezdték kutatni, és egy rakat tulajdonságot találtak. Mint például ha az ilyen alakban szorzol egy tetszőleges r konstans számmal, akkor -emlékeim szerint- az origóból középpontosan nagyítjuk/kicsinyítjük/tükrözzük a görbét. Ugyanez például a tanult függvényalaknál nehezen lenne kivitelezhető.

Tehát ha x=valami és y=valami alakban vannak megadva a görbe pontjai, akkor csak annyi a dolgod, hogy beírod (általában) t helyére a számokat, végigszámolod őket, és az eredményül kapott két számot rendeled egymáshoz.

De, vissza lehet írni, de a paraméteres alakban megadott görbe nem mindig írható át függvényalakra (tehát x|->valamire). Ehhez kell egy pár feltételnek teljesülnie, hogy működhessen.

Klasszkus példa:

X = cos(t)

Y = sin(t)

Ez a paraméteres felírás az origó középpontú, egységsugarú kört írja le. Mivel a kör -érthető okokból- nem lehet függvény képe, ezért nem is írható fel x|->y alakban, legfeljebb részenként.

[link]

Azt hiszem, hogy igazán nem érted.

Ha t=0, akkor P(0)=(r*(0-sin0); r(1-cos0))=(0,0)

Ha t=Pi/2, akkor

P(Pi/2)=(r*(Pi/2-sin(Pi/2));r*(1-cos(Pi/2)))=(r*Pi/2;r)

És így to