Miként igazoljam? Köszönöm Igazoljuk, hogy bármely 200-jegyű számhoz található olyan 1986-tal osztható szám, amelynek első 200 számjegye az eredeti szám.

Ez nagyon egyszerű; tegyük fel, hogy a k szám 200-jegyű. Ha ezt a számot megszorozzuk 10000-rel, akkor a 10000*k számot kapjuk, ez így egy 204-jegyű szám lesz, a szorzással az első 200 számjegy nem változik (mivel csak négy darab 0-t írunk mögé). Ehhez a számhoz adjunk hozzá annyit, hogy 1986-tal osztható legyen. Ilyen szám biztosan létezik; tegyük fel, hogy a 10000*k alakú szám 1986-tal vett maradéka l, ami érthető okokból legalább 0, legfeljebb 1985 és egész, tehát 0<=l<=1985, ekkor a 10000*k számhoz annyit kell hozzáadni, hogy 1985-tel osztható legyen. Ilyen szám például az 1985-l egész szám, tehát a 10000*k+1985-l osztható lesz 1985-tel, ahol l a 10000*k alakú szám 1985-tel vett maradéka. Ezzel az első 200 számjegy biztosan nem fog változni.

Ráadásul ezzel a módszerrel a lehető legkisebb megfelelő számot tudjuk megtalálni. Ha továbbgondoljuk a gondolatmenetet, akkor azt kapjuk, hogy valójában végtelen sok megfelelő számot tudunk találni, a dolgunk csak annyi, hogy a k számot mindig valamilyen 10^n számmal kell szoroznunk, ahol n értéke legalább 4 és egész.

Legyen x egy tetszőleges 200-jegyű szám. Tekintsük az 10000 * x, 10000 * x + 1, ..., 10000 * x + 1985 számokat. Ezek mindegyikének az első 200 számjegye megegyezik az x számjegyeivel és mivel összesen 1896 egymást követő egész számot tekintettünk, ezért az egyik osztható lesz 1896-tal.

Hasonlóan igazolható, hogy bármely n-jegyű számhoz található olyan k-val osztható szám, amelynek első n számjegye az eredeti szám. (Ahol n és k tetszőleges pozitív egész.)