Hogy kell megoldani ezeket a valószínűség-számítási feladatokat?

Játszunk el a gondolattal, hogy hatással lehetünk a csapatunk győzelmére/vereségére. Vagy egy gép, amin van 10.000 gomb, de nem tudjuk, hogy melyik mit csinál. Mi ezek közül megnyomunk egy gombot, és a csapatunkkal aszerint történik valami, hogy mi tartozik a megnyomott gombhoz. Mindegyikhez tartozik a négyféle kimenetel közül valamelyik:

1) az első meccset megnyerik és a bajnokságot is,

2) az első meccset megnyerik, de a bajnokságot nem,

3) az első mecccset elvesztik, de a bajnokságot megnyerik,

4) az első meccset és a bajnokságot is elvesztik.

A százalékok alapján ki tudjuk számolni, hogy hány olyan gomb van, amely alapján megnyerik a bajnokságot, és hány esetben nem;

1) 10.000*0,69*0,58 = 4002

2) 10.000*0,42*0,21 = 882

3) 10.000*0,31*0,58 = 1798

4) 10.000*0,42*0,79 = 3318

Ellenőrzésként ha összeadjuk az eredményeket, akkor 10.000-et kapunk, tehát minden gomb kapott egy funkciót.

Mivel tudjuk, hogy az első meccset elvesztették, ezért a 3)-as és a 44)-es gombok közül nyomtuk meg valamelyiket. Ezekből összesen 5116 gomb van, ezek közül 1798 esetben nyer a csapat, tehát annak a valószínűsége, hogy a csapat nyer, 1798/5116 = 899/2558 =~ 0,35145 = 35,145%

A gombok felhozása csak szemléltetés miatt van, enélkül is megoldható. SSőt, felvetődhet a kérdés, hogy hány gombt választhatunk. A válasz az, hogy bármennyit választhatunk, mindig ugyanannyi lesz a valószínűség; általánosan számolva: legyen x darab gomb, ekkor

1) x*0,69*0,58 = 0,4002x

2) x*0,42*0,21 = 0,0882x

3) x*0,31*0,58 = 0,1798x

4) x*0,42*0,79 = 0,3318x

Ezek közül a 3) és 4) kell nekünk;

kedvező eset: 0,1798x

összes eset: 0,5116x

valószínűség: (0,1798x)/(0,5116x) = ... = 35,145%

Mivel a számítás során kiesett az x, ezért az eredmény x-től nem függ, így bármennyi* gombbal számolva ugyanazt a valószínűséget kapjuk.

*Ha "rosszul" választunk, akkor "törtgombokat" kapunk, ezért választottam én is a 10.000-et a példához.

A másodiknál is számolhatunk hasonlóan;

Ha a C cég x darab számítógépet gyárt, akkor a B cég 5x darabot, az A cég 4x darabot. Nézzük, hogy ezekből hány selejtes:

A cég: 4x*0,012 = 0,048x

B cég: 5x*0,046 = 0,23x

C cég: x*0,038 = 0,038x

Ezen gépek közül választottunk egyet, tehát 0,048x+0,23x+0,038x=0,316x választási lehetőségünk volt, tehát ennyi az összes eset. A választott gép 0,23x-féleképpen kerülhet ki a B cégtől, így ez a kedvező esetek száma.

Így a valószínűség: (0,23x)/(0,316x) = 115/158 = 0,72785 = 72,785%.

Itt is látható, hogy teljesen mindegy, hogy a C cég mennyi gépet gyárt, mindig ugyanannyi lesz a valószínűség.

Gondolom, hogy a feltételes valószínűséget tanuljátok és a tanár/nő elvárja, hogy azzal old meg.

A feltételes valószínűség:

- van egy A és B eseményünk.

- mi a valószínűsége annak, hogy A esemény bekövetkezik, ha a vizsgálatunkat azokra a helyzetekre korlátozzuk, amikor tudjuk, hogy B esemény megtörtént?

A válasz: P(A|B)=P(AB)/P(B), ahol

- P(A|B) jelentése: A esemény bekövetkezésének valószínűsége, ha tudjuk, hogy B megtörtént

- P(AB) jelentése: A és B esemény együttes bekövetkezésének

valószínűsége

A példákban mi az A és mi a B esemény? Ezt a feltételes valószínűséges részmondat alapján lehet eldönteni.

(Az elsőben még egy olyan trükk is van, hogy P(A|B) és P(B) ismert, és P(AB)-t keressük.)