Mi a valószínűsége annak, hogy 2 véletlenül kiválasztott embernek nem esik ugyanarra a napra a születésnapja? Hogyan alakul mindez 3, 5 és 25 ember esetén?

Inkább általánosan oldom meg neked, 2<=n<=366 emberre. Nyilvánvaló okokból, ha már 367-en vannak, akkor a valószínűség 1 lesz, ami biztos esemény.

Összes eset: 366^n

Kedvező eset: érdemesebb azt számolni, amikor mindenkinek különböző napon van a születésnapja, és azt levonni az összes esetből:

"Rossz" esetek: 366*365*...*(365-n+1), de ez a képlet az ismétlés nélküli variációnál tanult képlettel egyszerűbben felírható (vagy egyszerűen bővítjük ezt a szorzatot (365-n)!-sal), ekkor a 366!/(365-n)! összefüggést kapjuk, vagyis ennyi esetben nem lesz senkinek ugyanazon a napon a születésnapja. Így pedig 366^n-(366!/(365-n)!) esetben lesz legalább két ember, hogy azoknak egy napra esik a születésnapjuk, ez lesz a kedvező esetek száma.

Valószínűség = kedvező/összes = (366^n-(366!/(365-n)!))/366^n, kicsit átalakítva: = 1 - (366!/[(366^n*(365-n)!]), itt csak n helyére beírod a kérdéses számokat, és rögtön megkapod a valószínűséget.

"Mi a valószínűsége annak, hogy 2 véletlenül kiválasztott embernek NEM esik ugyanarra a napra a születésnapja?"

Az évi 365-nappal való számolás pontosabb eredményt ad, mint a 366-tal. (Később leírom miért.)

Az összes esetek száma 365^n. Ha az emberek sorrendje is számít.

A kedvező esetek száma 365!/(365-n)!, ahol n<=365. Ha az emberek sorrendje is számít.

A valószínűség (365!/(365-n)!)/365^n, ahol n<=365.

"Az évi 365-nappal való számolás pontosabb eredményt ad, mint a 366-tal."

Igaz, hogy február 29-én is születnek emberek. De kb. 4-szer kisebb valószínűséggel, mint az év egyéb napjain. Ha ezeket az embereket is bevesszük a számolásba, akkor nem teljesül, hogy minden eset valószínűsége egyenlő. Ezért nem lesz igaz, hogy

a valószínűség=(kedvező esetek száma)/(összes esetek száma).

Ezt úgy lehet korrektül tárgyalni, ha a fenti 365 napos számoláshoz, még hozzáadjuk annak a valószínűségét, hogy legalább egy ember február 29-én született és nincs az n ember között 2 személy, aki egy napon született.

De ezt egy házifeladatnál feltehetően nem várják el.