Valaki le tudja nekem vezetni, hogy miért ez jön ki?

Itt van:

[link]

"Azt viszont jól gondolom, hogy a derivált függvénybe behelyettesítve valamilyen számot és akkor azzal tudom eldönteni hogy nő vagy csökken a függvény?"

Jól gondolod, mivel erre találták ki a differenciálszámítást, amiből lett a deriválás. Ha a deriváltba behelyettesítve a függvényérték pozitív, akkor az adott pontban szigorúan monoton nő a függvény, ha negatívat, akkor szigorúan monoton csökken, ha pedig 0-t kapsz, akkor érdekes dolgok lehetnek a növekedésre nézve.

Illene egy kicsit részletezni, de alapvetően ezek az x-et úgy jönnek ki, hogy a függvényekett egyenlővé tesszük 0-val és megoldjuk őket;

-a zérushelyhez az eredeti függvényt tesszük egyenlővé 0-val:

x^4-4x^3 = 0, ezt úgy tudjuk megoldani, hogy kiemelünk x^3-nt:

x^3*(x-1) = 0, egy szorzat értéke csak úgy lehet 0, hogyha valamelyik tényezője 0, tehát vagy x^3=0, amire x=0 jön ki, vagy (x-1)=0, amire x=1.

-hogy megtudjuk, hogy a függvénynek hol lehet szélsőértéke, ahhoz a deriváltat kell egyenlővé tennünk 0-val:

4x^3-12x = 0, itt is kiemelhetünk x-et:

x*(4x^2-12) = 0, itt ugyanaz a helyzet, mint az előbb; vagy x=0, vagy 4x^2-12=0, aminek vagy így, vagy úgy, de x=gyök(3) és x=-gyök(3) a megoldása (legegyszerűbb, hogyha a megoldóképlettel oldod meg, mert ha gyökvonással oldod meg, akkor ütközhetsz problémákba).

-a konvexitás megállapításához a második deriváltat kell egyenlővé tennünk 0-val:

12x^2-24x=0, ez megoldható a megoldóképlettel is, de kiemeléssel is tudunk számolni; x*(12x-24)=0, így vagy x=0, vagy 12x-24=0, vagyis x=2.

A táblázat felrajzolása megy?

Első deriváltig eljutottál? Azt megkapod, -4x^3+36x

Ezt alakítsd szorzattá, mondjuk úgy hogy X(36-4x^2) vagy 4x(9-x^2), szorzat mikor =0? Amikor az egyik szorzó tényező 0. 4x akkor =0 ha az X=0. 9-x^2=0, átrendezed 9=x^2 tehát X=√9 azaz +-3. Ez nem megy vagy mi a probléma?

Nem jól emeltél ki...

-x^2*(x^2-18) = 0