Ez igaz? Valaminek az értéke akkor lesz maximális, ha a derivaltja az 0?

Az x^2 függvény deriváltja 2x. Ha ez egyenlő nullával akkor x=0. Viszont ebben a pontban az x^2 függvénynek nincs maximuma.

Javaslom nézd át rendesen a függvénynek szélsőértékét!

Féligazságok a matekban nem sok mindent érnek.

Ha a derivált nulla, akkor ott a függvénynek lokális szélsőértéke lehet – ami lehet éppenséggel minimum is és maximum is, de még az is lehet, hogy nincs is ott szélsőértéke. Ezt a második derivált alapján lehet eldönteni.

Pl. az x³ deriváltjának, a 3x²-nek nulla az értéke x=0-ban, mégsincs ott szélsőértéke (a grafikonjára tekintve is egyértelműen ltszik), mivel ebben a pontban a második deriváltja, a 6x értéke is nulla.

Ha pozitív lenne a második derivált, akkor minimuma lenne, ha negatív, akkor meg maximuma. Pl. az x² esetén a derivált, a 2x x=0-ban nulla, a második derivált azonban konstans 2, ami pozitív, mutatva, hogy minimuma van. Ellenben a –x² második deriváltja –2, azaz maximuma van – amit persze a grafikonjuk is igazol.

Itt finomabb dolgok vannak. Arról van szó, hogy ha az f:(a,b)->R függvénynek az (a,b) egy pontjában szélsőértéke van, és ott differenciálható, akkor a deriváltja ott eltűnik.

Hasonlóan, ha egy f:H->R, H⊂R^k függvénynek szélsőértéke van, és ott minden elsőrendű parciális deriváltja létezik, akkor gradiense ott eltűnik.

Egy-és többváltozós, de valós számértékű függvényekre ennél többet is mondhatunk: kompakt halmazon értelmezett függvény ott korlátos és felveszi szélsőértékeit.

Ha viszont vektor-vektor függvényeknél vagyunk, akkor már csak annyi mondható el, hogy kompakt halmazon értelmezett függvény korlátos.

(Emlékeztetlek, R^k-ban a kompakt halmazok pontosan a korlátos, zárt halmazok)

Mindkettő nagyon erős állítás, és a differenciálhatóságtól teljesen független.