Mekkora a 4 oldalú szabályos csonka gúla térfogata és felszíne, ha az alapéle 10 cm, az oldaléle 5 cm, a magassága 4 cm?

Eloszor is itt van nehany kidolgozott feladat:

a tinyurl weblapon a 64vjub2 oldal

A legegyszrubb eljaras talan ha elkepzeled az eredeti teljes gulat, kiszamitod a terfogatat, kiszamitod a terfogatat a levagott resznek, vegul a kettot kivonod egymasbol.

A gula terfogata alapterulet*magassag/3

Kepzeld el, hogy az alaplap atloja menten kettevagod a csonka gulat egy fuggoleges sikkal.

Rajzold le a keresztmetszetet.

Kapsz egy szimmetrikus trapezt.

Ennek az alapja az eredeti csonkagula alaplapjanak az atloja, vagyis Pitagorasz tetel szerint 10√2 hosszu.

A magassagokat huzd be trapez fedolapjanak a ket vegpontjahoz.

Ket kis derekszogu haromszoget vagnak le az eredeti trapezbol, aminek a magassaga 4cm az atfogoja meg 5 cm,

tehat a behuzott magassagok az alapbol Pitagorasz tetel szerint 3cm-t vagnak el jobbrol is meg balrol is.

Tehat kozepen megmara 10√2-6 cm, de ez pont annyi mint a trapez fedolapja.

A trapez fedolapja az a csonkagula fedolapjanak az atloja volt.

Pitagorasz tetel szerint ki lehet szamolni belole a fedolap oldalait:

(10√2 - 6)/√2 = 10 - 3√2

Tehat eddig sikerult kiszamolni,

hogy a fedolap ele 10 - 3√2.

A fedolap terulete tehat (10-3√2)^2=100 - 60√2 +18 =

= 118-60√2.

Namost akkor a magassagok.

Vagjuk kette fuggoleges sikkal most az egesz gulat az alap negyzet-et az egyik alapellel parhuzamosan, a gula csucan keresztul.

Rajzold le az igy kapott haromszoget, berajzolva azt is, hogy hol metszi a csonka gula fedolapja.

Ez egy egyenlo szaru haromszog,

Az alapja 10cm

keresztbe megy rajta a csonkagula fedolapjaval valo metszete, ami 10-3√2 cm.

Ez a metszet 4cm magassagban lesz.

Huzd is be a haromszog magassagat.

Ez az eredeti haromszoget kette osztja.

Koncentraljunk csak a baloldalira.

Latsz ket hasonlo haromszoget.

Az egyiknek az alapja 10/2=5cm a magassaga meg mondjuk H, ami a teljes gulanak a magassaga.

a masik alapjanak a hossza (10-3√2)/2 cm es a magassaga mondjuk h, a levagott kis gula magassaga.

Azt is tudjuk, hogy H=h+4, mert az eredeti gula magassaga 4cvm volt.

Ez a ket haromszog hasonlo.

Irjuk fel a hasonlosagot:

H/h = 5:(10-3√2)/2=10/(10-3√2)

H=10h/(10-3√2)

h+4 = 10h/(10-3√2)

4= (10-10+3√2)h/(10-3√2)

h=4*(10-3√2)/(3√2)

H = 4*(10-3√2)/(3√2) +4 = 40/(3√2)

Megvannak a magassagok, megvannak az oldalelek.

Akkor ebbol az eredeti nagy gula terfogata:

(10*10*40/(3√2))/3 = 2000√2/9=314.269681

A levagott kis gula terfogata:

((118-60√2)*4*(10-3√2)/(3√2))/3=(118-60√2)*2√2*(10-3√2)/9=59.975308

A ketto kulonbsege:254.294373

ha el nem szamoltam valahol.

Csonkakupot kapunk.

Ugy mint az elobb kiszamitjuk a teljes kup terfogatat es kivonjuk belole a levagott darab terfogatat.

Az alapteruleteket tudjuk: a teljes kup alaplapja: 9Pi

a levagott kup alaplapja 4Pi teruletu, mert az alapkor atmeroje volt a trapez alapja, a levagott alapjanaka az atmeroje meg a trapez fedolapja.

Akkor itt meg kellenek a magassagok.

Rajzold le a trapezt, egeszitsd ki haromszogge.

A trapez valojaban egy csonka haromszog.

A teljes haromszog magassagat jeloljuk H-val,

a kis levagottat meg h-val.

Ezeket a jeloleseket erdemes bevezetni, mert a teljes kup magassaga pont ez a H, illetve a levagott kis kup magassaga pont ez a h.

Eloszor is probaljuk kiszamolni a trapez magassagat. H annyival nagyobb h-nal amennyi a trapez magassaga, ezert van szukseg ra.

Rajzold be a trapez magassagat megpedig mind a fedolap jobb mind a bal vegebol kiindulva.

Megint kis derekszogu haromszogeket latsz levagva.

Az atlojarol tudjuk, hogy 5cm hosszu.

Az alapja meg fele akkora mint amennyivel a trapez alapja nagyobb a tetejenel, mert szimmetrikus a trapez, vagyis az alap 1 cm, akkor a magassag: √(25-1)=√24=2√6 cm

Tehat

H=h+2√6

Megint huzzuk be a teljes haromszog magassagat es koncentraljunk mondjuk a jobb oldalra.

Itt van megint ket hasonlo haromszog, ugyanugy mint az elozo reszben,

Irjuk fel a hasonlosag aranyat:

H/h = 6/4

(h+2√6)/h=3/2

2h +4√6 = 3h

h=4√6

H=6√6

Akkor most a nagy kup terfogata:

9Pi*4√6/3=14√6Pi

A levagott kup terfogata:

4Pi*6√6/3=8√6Pi

A ketto kulonbsege:

14√6Pi-8√6Pi=6√6Pi=46.1717939