Egy zsák teli 10 filléresekkel, de a pénztár nem ad érte 300 Ft-nál többet. Ha 9 darabból álló kupacokba rakjuk őket, akkor 5, ha 10-ből akkor 6, és ha 11-ből, akkor 7 marad ki. Hány 10filléres lehet a zsákban?

1 ft= 100 fillér

9, 10, és 11 közös többszörösét kell keresni, ami legközelebb van a 3.000-hez. (300 Ft= 30000F=3000 tízfilléres)

Ha tízesével rakjuk, hat marad= a szám hatosra végződik. Pl. 2996, 2986, ..

Ha 9-ével rakjuk, a számjegyek összege 9+5

2996=2+9+9+6= itt 8 marad

2946=2+9+4+6= itt 3 marad

2966=2+9+6+6= itt 5 marad, ez jó.

2966-90 is jó az 2876

......

Ha 11-ből. akkor a vége 66 lenne, ha nem maradna. De marad 7, pedig az uccso számjegy 6.

Akkor mondjuk 2986 db lenne, és levennénk a maradék hetet, akkor 2979 osztható kéne legyen 11-el, de nem az...

2876-7=2869, az nem jó

....

3000/11= kb 270, 270*11 az nem jó

269*11=2959+7 az 2966, az hatra végződik, az jó a tizeshez, kilences maradéka pedig 5. Akkor Ez az!

Egy kicsit hosszabb, de minden találgatástól mentes megoldás. :-)

A feladat így is leírható

N = 9x + 5

N = 10y + 6

N = 11z + 7

Az első két egyenletből

9x + 5 = 10y + 6

9x - 10y = 1

9x - 10y = 10 - 9

9(x + 1) = 10(y + 1)

Ebből

x = 10[(y + 1)/9] - 1

Az

(y + 1)/9 tört értéke akkor lesz egész szám, ha 'y' egy olyan számtani sor tagja, melynél

a1 = 8

d = 9

tehát y, mint általános tag

y = 8 + (n - 1)*9

ebből

y = 9n - 1

Az 'x' képletébe behelyettesítve

x = 10[(9n - 1 + 1)/9] - 1

így

x = 10n - 1

Ugyanezen módszerrel az első és harmadik egyenletből

9x + 5 = 11z + 7

ebből

z = (9x - 2)/11

'x' előbb kapott értékét behelyettesítve

z = 90(n/11) -1

Az előzőhöz hasonlóan 'n' értéke egy számtani sor m-ik tagja, melynél

a1 = 11

d = 11

vagyis

n = 11 + (m - 1)*11

így

n = 11m

Ezt a 'z' képletébe behelyettesítve adódik

z = 90(11m/11) - 1

z = 90m - 1

Ezek után a keresett szám

N = 11z + 7

N = 11(90m - 1) + 7

végül is

N = 990m - 4

==========

Ha 3000 körüli értéket keresünk, akkor

m = (N + 4)/990

m = 3,03434...

kerekítve

m = 3

Ezzel

N = 990*3 - 4

N = 2966

========

DeeDee

*********