Egy tetraéder 3 oldala közül 2 olyan félszabályos háromszög, amelynek a rövidebb befogója 10 egység, a harmadik oldal pedig egy egyenlő szárú derékszögű háromszög. (Az ábra szerint) Elférne-e ebben a tetraéderben egy 3,2 sugarú gömb?

Ha a rovidebb befogo 10 egyseg, akkor felszabalyos haromszogrol leven szo az atfogo 20 egyseg es a hosszabbik befogo 10√3 egyseg Pitagorasz tetel szerint.

Az abran a felenk levo csucsot nevezzuk D-nek.

Mivel mind a 3 szog D-nel derekszogu, ezert koordinata rendszert lehet illeszteni ra.

Mondjuk

A(10,0,0)

B(0,10√3,0)

C(0,0,10√3)

D(0,0,0)

A legnagyobb gomb amit ebbe bele lehet rakni a beirhato gomb.

Ennek sugar mondjuk r.

Akkor a kozeppontja (r,r,r)

Ennek tavolsaga az ABC siktol szinten r.

Az ABC sik egyenlete:

√3x+y+z - 10√3 =0

Igy a tavolsag a kor kozeppontja es a sik kozott:

(r√3 + r + r - 10√3)/√(3+1+1) = -r (- mert a normalvektor az origohoz kepest a tuloldalan van a siknak)

(2+√3)r - 10√3 = -√5 r

(2+√3 + √5)r = 10√3

r=10√3/(2+√3+√5)=2.90217214

Ezek szerint nem fer el, de nezd at a reszletszamitasokat, hatha valamit elirtam.