Tudnátok segíteni nekem három valószínűségszámítási feladatban?

ha még jól emlékszem, akkor adott val.vált. eloszlásfüggvénye azt jelenti, hogy mekkora val-el lesz kisebb mint adott érték. ergo a végtelenben biztos esemény=1 lesz. a sűrűségfgv. azonban azt mutatja, hogy mekkora val-el történik adott dolog. az összefüggés annyi, hogy az eloszlásfgv deriváltja a sűrűségfgv. tehát deriváld a 3-ast. a várható érték diszkrét esetben a szumma(val_i*érték_i)-vel számolható, folytonosnál szorozd be a sűrűségfgv-ed x-el és integráld le. (mert val_i az a sűrűségfgv értékei lesznek érték_i pedig maguk az x-ek)

szívesen segítenék a kettes egyesben is, de őszintén szólva régi cucc ez.

1) Az ilyen jellegű feladatoknál kicsit trükközni kell, például úgy, hogy hogyan lehet geometriával felírni a valószínűségeket.

Ha két pontot választunk ki, akkor érdemes 2-dimenziós koordináta-rendszerben rajzolgatni. Legyen az egyik pont az x tengelyen, a másik az y-on. Rajzold fel magad elé az xy koodinátarendszert, abban pedig a (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) pontok által alkotott négyzetet. Ebben a négyzetben bármelyik pontot kiválasztva megkapod annak x és y koordinátájaként azt a 2 pontot, amik a [0,1] intervallumon véletlenszerűen ki lettek választva.

Na most ha |x-y|<1/4, akkor ez kétféleképpen lehet:

Ha x≥y: (ez az ábrádon a négyzet jobb alsó fele, hisz x=y lenne az origón átmenő átló egyenese)

x-y < 1/4

y > x - 1/4

Ha nagyobb helyett egyenlő lenne, akkor ez egy egyenes egyenlete lenne. Rajzold be a papírodra, 45 fokos egyenes, ami -1/4-nél metszi az y tengelyt. Azok a pontok elégítik ki az egyenlőtlenséget, amik e felett az egyenes felett vannak a négyzetben. A kiinduló feltétel miatt (x>y) teljesen az y=x átlóig terjedő tartomány ilyen, azt sraffozd be. (Persze csak a négyzetbe eső pontokat sraffozd!)

Ha x<y: (ez az ábrádon a négyzet bal felső fele)

y-x < 1/4

y < x + 1/4

Ha egyenlőség lenne, akkor ez egy 45 fokos egyenes lenne, ami y=1/4-nél metszi az y tengelyt. Ez alatt az egyenes alatt lévő pontok elégítik ki az egyenlőtlenséget. Ezeekt is sraffozd be az ábrán (teljesen az átlóig, hisz y>x is igaz kell legyen)

Végül a rajzodon a besraffozott terület lesz az, hogy ha innen választunk egy síkbeli pontot, akkor teljesül az |x-y|<1/4 feltétel. Ennek a valószínűsége pedig pont megegyezik a sraffozott terület osztva a négyzet teljes területével. (A négyzet területe most 1, úgyhogy technikailag nem is kell osztani.)

A sraffozott terület helyett egyszerűbb kiszámolni a nem sraffozottat, hisz az a jobb alsó meg bal felső háromszög területe: T=3/4·3/4 = 9/16. Vagyis a sraffozott terület 7/16 (hisz a teljes négyzet területe 1).

Az a) válasz tehát 7/16

A b) teljesen hasonlóan alakul, csak a két 45 fokos egyenes nem a +1/4 és -1/4 pontokban metszi az y tengelyt, hanem a kszi aktuális értékénél. Vagyis:

ξ = |x-y|

P(ξ < d) = 1 - (1-d)²       ahol 0 < d ≤ 1

hisz az egyik nem sraffozott háromszög területe (1-d)²/2

Az eloszlásfüggvény tehát:

F(x) = {

       {0, ha x < 0

       {1-(1-x)², ha 0 ≤ x ≤ 1

       {1, ha x > 1