Tetraéder ortocentrikus?

Ortocentrikus: magasságvonalai egy pontban metszik egymást.

Helyvektorokkal kell trükközni. A négy csúcsba mutató helyvektor mondjuk a, b, c, d. Ezekkel kell skaláris szorzással kifejezéseket összekombinálni. Azért jók a vektorok, mert kifejezhető velük a merőlegesség (szorzat = 0), és a szakaszok hosszának négyzete (a szakasz vektora * a szakasz vektora), és másra nincs is szükség.

Az állítás első fele: ha ortocentrikus, akkor bizonyítandó, hogy a szemközti élek négyzetösszege azonos.

Itt a helyvektorokhoz a létező ortocentrumot kell választani origónak. Az ortocentrum (magasságpont), mely átmegy a tetraéder összes magasságvonalán. Ezt és a bizonyítandó állítást (szakaszok négyzetösszege) kell átfogalmazni a négy darab vektorból (a,b,c,d) képzett egyenlőségekre.

Az állítás második fele: adott az egyenlő négyzetösszeg, a magasságpont létezését kell bizonyítani. Itt a köréírt gömb középpontját kell origónak választani (ekkor a, b, c, d egyenlő hosszú lesz). Ekkor az (a+b+c+d)/2 vektorról be lehet bizonyítani, hogy ahova mutat, az minden magasságvonalon rajta van, tehát a magasságpont.

Innentől csak vektorokkal összeadása és skaláris szorzás kell.

Nagyon szép feladat, ahol ezt adták fel, ott szerintem már elvárás ilyen segítségből megoldani. :D