Lim x->végtelen lnx/x esetén miért 0 a végeredmény? Miért nem végtelen?

Azt látod, hogy hogy jön ki, csak azt nem, hogy miért ennyi a végeredmény, és miért nem végtelen? Könnyű belátni, hogy miért nem lehet végtelen.

A következőképpen járj el. Deriváld le a a függvényt rendesen, és figyeld meg, amit kaptál. A derivált gyöke e-nél van, itt tehát minimum vagy maximum lehet, történetesen ez egy maximumhely. Ha megnézed, e-nél nagyobb x-ekre a derivált negatív, ami azt jelenti, hogy az eredeti függvény innentől végig csökken.

Tehát a határérték végtelenben maximum annyi lehet, amennyi x=e-ben volt az érték (az érték ln(e)/e = 1/e). Tehát 1/e egy felső korlát a határértékre, így az semmiképp nem lehet végtelen.

Mivel azt is könnyű belátni, hogy a határérték nemnegatív (hiszen két pozitív függvény hányadosa), alsó korlátként triviális a 0-t mondani. És valóban, a függvény határtértéke e közé a kettő közé esik, ebben nincs hiba.