Kaptam egy feladatot, egy ideig megoldottam, de elakadtam. Valaki segítene?

Jelölje K a BHJ és CIH háromszögek köré írt körök metszéspontját. Megmutatjuk, hogy K a másik két körön is rajta van.

A feltételünk azt jelenti, hogy CIHK és BJHK húrnégyszögek. Azt kell bebizonyítani, hogy CEJK és BEIK is húrnégyszögek.

Jelölje a BIE háromszög szögeit EIB=α és IBE=β.

Ekkor CIB=180-α, és mivel CIHK húrnégyszög, CKH=α.

Továbbá BJHK húrnégyszög, ezért a kerületi szögek tétele miatt HKJ=HBJ=β.

Így a CKJE négyszögben CKJ=CKH+HKJ=α+β.

Viszont a BIE háromszögből BEI=180-(α+β), így ez azt jelenti, hogy a CKJE négyszög két szemközti szögének összege 180, vagyis CKJE húrnégyszög, ahogy azt be kellett látnunk.

Azt kell még ellenőrizni, hogy BEIK is húrnégyszög. Ennek a négyszögnek az E-nél levő szöge megegyezik az előző négyszög (CKJE) E-nél levő szögével, így azt kell ellenőrizni, hogy a szemköztes szög is ugyanakkora, mint az előző négyszög esetén, vagyis BKI=CKJ. A szögekből a közös részüket kivonva, ez azt jelenti, hogy BKJ=CKI.

Ez viszont igaz, ugyanis:

BKJ=BHJ (mert BKHJ húrnégyszög)

BHJ=CHI (csúcsszögek)

CHI=CKI (mert CKHI húrnégyszög).

Ezzel beláttuk az állítást.