Három szám egy mértani sorozat egymás utáni eleme. Összegük 26, négyzetük összege 364. Melyik ez a három szám?

Legyenek a keresett számok növekvő sorrendben x,y,z.

Mivel egy mértani sorozat egymást követő elemei,

y/x=z/y, azaz

(1) y^2=xz.

A feltételek szerint

(2) x+y+z=26,

(3) x^2+y^2+z^2=364.

(3)-ba (1)-et beírva,

x^2+xz+z^2=364,

mindkét oldalhoz adjunk xz-t:

x^2+2xz+z^2=364+xz,

(x+z)^2=364+xz.

A bal oldalon (2) és a jobb oldalon (1) alkalmazásával

(26-y)^2=364+y^2,

676-52y+y^2=364+y^2,

676-52y=364,

52y=312,

y=6.

Tehát (1) és (2) az

xz=36,

x+z=20

alakot ölti,

innen a második egyenletből z=20-x,

ezért

x(20-x)=36,

x^2-20x+36=0.

Ennek a gyökei 2 és 18.

Mivel feltettük, hogy x<y, x=2 a megfelelő megoldás, és innen bármelyik egyenletből z=18 adódik.

A keresett számok tehát: 2, 6, 18.