Hány háromjegyű, hárommal osztható természetes szám készíthető a 0,1,3,5,7 számjegyekből, ha a számokban nem fordulnak elő ismétlődő számjegyek/előfordulnak ismétlődő számjegyek?

Egy szám akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege is osztható 3-mal. (Ezt Neked is tudnod kell.)

1. Ha nem fordulnak elő, akkor tekintsük a belőlük képezhető (5 alatt a 3) = 10 db sorozatot, és figyelembe kell venni azt, hogy az első jegy nem lehet 0.

0, 1, 3: az összegük 4, tehát ez nem lehet.

0, 1, 5: az összegük 6, tehát ez jó, mivel 0 az első nem lehet, ezért 4 db szám képezhető ezen számjegyek permutációiból.

0, 1, 7: az összegük 8, tehát...

0, 3, 5: az összegük 8, tehát...

0, 3, 7: az összegük 10, tehát...

0, 5, 7: az összegük 12, tehát ez jó, de 0 az első itt sem lehet, azaz megint 4 db készíthető.

1, 3, 5: az összegük 9, és nincs is közöttük 0, tehát 3! = 6 db alakítható ki.

1, 3, 7: az összegük...

1, 5, 7: az összegük...

3, 5, 7: az összegük 15, azaz ugyanaz a helyzet, mint az 1, 3, 5 sorozatnál.

Összesen tehát 4+4+6+6 = 20 db olyan háromjegyű szám készíthető az adott számjegyekből, ahol a jegyek nem ismétlődnek.

2. Ha lehetnek ismétlődők, akkor persze bonyolultabb a helyzet.

Ha mind a három jegy azonos, akkor nyilván osztható 3-mal, tehát mivel 0 kizárt, 4 db ilyen van,

Ha mindhárom jegy 0-at maradékul hárommal osztva, akkor mivel a 333-at már nem számítjuk, a 300, 303, 330 számok lesznek jók.

Ha mindhárom jegy 1-et ad maradékul hárommal osztva, de már persze az 111-et és a 777-et már nem számítjuk közéjük, akkor a 117, 171, 177, 711, 717, 771 számok tesznek eleget a feltételnek. (Ha három olyan számot adunk össze, melyek mindannyian 1-et adnak maradékul 3-mal osztva, akkor összegük osztható 3-mal.)

(Mindháromnak 2 a hármas osztási maradéka: Ez csak az 555 lehet, de az már szerepelt.)

Most azokat az eseteket kell áttekinteni, ahol az egyik jegynek 0, a másiknak 1, a harmadiknak 2 a hármas osztási maradéka. (Itt is a szj.-ek összege osztható 3-mal.)

3, 1, 5: 6 db ilyen sorozat van. (Lásd az első feladatot.)

3, 7, 5: 6 db ilyen sorozat van.

0, 1, 5: 4 db, mert 0 az első persze itt sem lehet.

0, 7, 5: 4 db.

Ez összese 4+3+6+6+6+4+4 = 33 db a második feladat feltételeinek eleget tevő szám létezik összesen.