Hány db olyan max.  7 jegyű poz.  egész szám van, amelyiknek pontosan 99 db pozitív osztója van?

99 = 3·3·11

Vagyis olyan számokat keresünk, amik ilyen alakúak:

a) p²·q²·r¹⁰

b) p⁸·r¹⁰

c) p²·q³²

d) p⁹⁸

.. ahol p, q, r különböző prímszámok.

- A c) és d) alakúból egy sincs, mert már 2³² is nagyobb 10⁷-nél.

- Az a) és b)-nél r¹⁰ az érdekes, r csak 2 vagy 3 lehet. Ugyanis 5¹⁰ = 9765625, ami egy nagy 7 jegyű szám, azt megszorozva bármivel már túl nagy szám lenne.

1) r = 2

2¹⁰ = 1024, p²·q² illetve p⁸ tehát max 10⁷/1024 ≈ 9765 lehet.

1a) (pq)² ≤ 9765

√9765 ≈ 98 ≥ p·q

Ezek a prímek jöhetnek számításba:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

ugyanis 31·3 = 93 az utolsó, ami még kisebb 98-nál

- p=3, q=9-féle

- p=5, q=5-féle (19-ig)

- p=7, q=2-féle (13-ig)

- p=11-hez már nincs q

Ez összesen 9+5+2 = 16 lehetőség

1b) p⁸ ≤ 9765

⁸√9765 = 3.1529, tehát csak p=3 lehetséges.

Ez plusz 1 lehetőség.

2) r = 3

3¹⁰ = 59049, p²·q² illetve p⁸ tehát max 10⁷/59049 ≈ 169 lehet.

2a) (pq)² ≤ 169

√169 = 13 ≥ p·q

Csak p=2, q=5 lehetséges. Ez is csak 1 lehetőség

2b) p⁸ ≤ 169

Ilyen nincs.

Vagyis összesen 18 ilyen szám van.