Bizonyítsuk be, hogy ∀a, b ∈ Z melyre lnko (a,65) = lnko (b,65) teljesül, hogy 65 | a^12 − b^12?

a^12 – b^12 = (a^6 + b^6)*(a^6 – b^6) = (a^2 + b^2)*(a^4 – a^2*b^2 + b^4)*(a^3 + b^3)*(a^3 – b^3) =

(a^2 + b^2)*(a^4 – a^2*b^2 + b^4)*(a + b)*(a^2 – a*b + b^2)*(a – b)*(a^2 + a*b + b^2).

Ez mindenképpen osztható 5-tel, mert a feltétel miatt az nem lehet, hogy a és b közül csak az egyik legyen 5-tel osztható, ha azonos maradékot adnak 5-tel osztva, akkor az (a – b) tényező miatt lesz a szorzat osztható 5-tel, ha pedig különböző maradékot adnak, akkor pedig az (a + b) vagy az (a^2 + b^2) tényező miatt.

(Ugye ezen tényezők szimmetriája miatt már csak 6-féle lehet a és b: 1 és 2, 1 és 3, 1 és 4, 2 és 3, 2 és 4 vagy 3 és 4 maradékot adó 5-tel osztva.)

És van egy sanda gyanúm, hogy 13-ra is ugyanígy végig lehet nézni, csak kicsit bonyolultabb lesz…

Hogy csak az egyik osztható 13-mal, az nem lehet, ha azonos maradékot adnak, akkor az (a – b) tényező miatt lesz a szorzat 13-mal osztható, hogy különböző nem 0 maradékot adjanak az meg 12*11/2-féleképpen lehet… 6 egyből elmegy az (a + b) miatt,…

Talán lehet szebben is, de így ki kell jöjjön…

Bocsánat, remélem, valaki talál szebb megoldást.

Megvan, ha a és b egyik sem osztható 13-mal, akkor relatív prímek 13-hoz, tehát a kis Fermat-tétel miatt a^12 és b^12 is 1 maradékot ad 13-mal osztva, tehát különbségük 0.

Ha mindketten oszthatók, akkor az állítás triviális, hogy csak az egyik osztható, az meg a feltétel miatt nem lehet.