Hogy kerül be a logaritmus ide? Mi alapján használja?

Hibás a megoldókulcs; a második sor helyesen:

lg(0,15)=(x/6)*lg(0,1)

És a miértre a válasz pedig: a III. logaritmusazonosság miatt lg(a^k)=k*lg(a), vagyis ha a logaritmuson belül hatványozunk, akkor a hatványkitevő "kikerül a logaritmus elé szorzónak".

Tehát az egyenletből ez lesz:

lg(0,15)=lg(0,1^(x/6))

Itt x/6 a kitevő, ez "kijön szorzónak":

lg(0,15)=(x/6)*lg(0,1)

Innen pedig egyszerű egyenlet, amit meg tudunk oldani:

6*lg(0,15)/lg(0,1)=x, ezt számológéppel ki tudjuk számolni, és tényleg kijön, hogy ~4,9=x.

(Megjegyzés: tetszőleges alapú logaritmust választhatunk, de a 10-es alapú logaritmussal a legkönnyebb számolni, és az összes tudományos számológépen van ilyen funkció. Ugyanígy, a fent említett azonosság tetszőleges alappal működik (ami nem sérti a definíció kikötését).)