Adott r sugaru es m magasságú egyenes henger köré írjunk minimális térfogatú kúpot. (? )

Így ez, szerintem, két ismeretlenes egyenlet deriválásához vezet.

Nem gond? Nincs valami megadva még arról a hengerről?

Jó ez az eredmény? Bizonytalan vagyok...

R = 3r/2

M = 3h

ahol

R, M - a kúp alapkörének sugara ill. magassága

r, h - a henger alapkörének sugara ill. magassága

Vágd el az egészet egy a középponton átmenő függőleges síkkal.

Rajzoltam [link] neked ilyet. Nyilván (?) ha ezt körbeforgatod akkor megkapod a kúp térfogatát, tehát a CEF háromszöget akarjuk minimalizálni ha az ABCD téglalap adott. BDE ugye hasonló CEF-hez, BD az m, CD az r, tehát ha DE az x akkor FC/BD=CE/DE , FC = BD*CE/DE=m*(r+x)/x, CEF területe tehát m*(r+x)^2/x, deriválod m*(1-r^2/x^2), r=x-ben lesz 0, megnézed, jé, minimum, ez a megoldása (szerintem): a kúp sugara 2r, magassága pedig (visszahelyettesítve) 2m.

Nem jó! A síkmetszet csak segít, tehát az előző javítva így néz ki:

Rajzoltam [link] neked ilyet. A kúp térfogata CE^2*CF*c. c az pozitív konstans, mindegy mi a minimumhely szempontjából (pi/3 asszem, aki akarja, végig beírja azt). BDE ugye hasonló CEF-hez, BD az m, CD az r, tehát ha DE az x akkor FC/BD=CE/DE , FC = BD*CE/DE=m*(r+x)/x, Tehát a kúp térfogata c*m*(r+x)^3/x, deriválod c*m*(r+x)^2(2x-r)/x^2, r=x/2-ben lesz 0, kiválóan látszik hogy m>0, az (r+x)^2 és az x^2 egyaránt >0 így a 2x-r az szigorúan monoton nő, tehát ez a minimumhely. Tehát a kúp sugara 3/2r, magassága pedig (visszahelyettesítve) 5/3m.

Első válaszoló vagyok.

Csináltam egy dinamikus munkalapot, hogy az eredményét mindenki ellenőrizhesse:

[link]

Várnám a kérdező véleményét!